Моноид (теория категорий)

В теории категорий моноид $(M,\mu ,\eta )$ в моноидальной категории $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ — это объект M вместе с двумя морфизмами

$\mu :M\otimes M\to M$ (называемый умножением),
и $\eta :I\to M$ (называемый единицей),

такими что следующая пятиугольная диаграмма

а также диаграмма

коммутативны. Обозначения те же, что и в статье Моноидальная категория: I — единица категории, $\alpha$ , $\lambda$ и $\rho$ — ассоциатор и морфизмы, соответствующие левому и правому умножению на единицу.

Двойственно, комоноид в моноидальной категории C — это моноид в двойственной категории $\mathbf {C} ^{\mathrm {op} }$ .

Пусть категория C имеет также преобразование симметрии $\gamma$ . Тогда моноид $M$ называется симметричным, если

\mu \circ \gamma =\mu

.

Примеры

Моноида в категории Set (рассматриваемой, как моноидальная категория относительно прямого произведения) — это моноид в общеалгебраическом смысле.
Моноид в категории абелевых групп (с тензорным произведением как $\mathbb {Z}$ -модулей) — это кольцо.
Из теоремы Экманна — Хилтона следует, что моноид в категории колец (с единицей) — это коммутативное кольцо.
Моноид в категории модулей над коммутативным кольцом R — это R-алгебра.
Моноид в категории векторных пространств над полем k — k-алгебра, соответственно, комоноид — k-коалгебра.
Для любой категории C, категория [C,C] эндофункторов (функторов в себя) [C,C] имеет моноидальную структуру, индуцированную операцией композиции. Моноид в категории эндофункторов [C,C] — это монада в C.

Категория моноидов

Пусть $(M,\mu ,\eta )$ и $(M',\mu ',\eta ')$ — два моноида в моноидальной категории C, морфизм $f:M\to M'$ является морфизмом моноидов, если

$f\circ \mu =\mu '\circ (f\otimes f)$ ,
$f\circ \eta =\eta '$ .

Категория моноидов в C с морфизмами, определёнными выше, записывается как $\mathbf {Mon} _{\mathbf {C} }$ .

Литература

Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin — ISBN 3-11-015248-7

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.