Кольцо Куммера

В общей алгебре кольцо Куммера ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид

${\displaystyle n_{0}+n_{1}\zeta +n_{2}\zeta ^{2}+...+n_{m-1}\zeta ^{m-1}\ }$

где ζ — m^th корни из единицы, то есть

${\displaystyle \zeta =e^{2\pi i/m}\ }$

и все n_k целые.

Кольцо Куммера является расширением ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ кольца целых, отсюда и обозначение ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$. Поскольку минимальным многочленом для ζ является m-й круговой многочлен, кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ является расширением степени ${\displaystyle \phi (m)}$ (здесь φ обозначает функцию Эйлера).

Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.

Множество единиц кольца Куммера содержит ${\displaystyle \{1,\zeta ,\zeta ^{2},\ldots ,\zeta ^{m-1}\}}$. По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).

Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.