Числа Салема

Поскольку число Салема имеет сопряжённое число с абсолютным значением 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным. Отсюда следует, что 1/α также является корнем и все остальные корни имеют абсолютное значение, точно равное 1. Как следствие, число α должно быть обратимым элементом (единицей кольца) в кольце целых алгебраических чисел, являющегося нормой 1.

Каждое число Салема является числом Перрона (алгебраическим целым числом, большим 1, модуль которого больше, чем у всех его сопряжённых).

Наименьшее известное число Салема является самым большим вещественным корнем полинома Лемера (названного в честь американского математика Деррика Лемера)

${\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1,}$

значение которого x ≈ 1,177 628; предполагается, что это наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера для неприводимого нециклического полинома[1].

Полином Лемера является множителем более короткого полинома 12-й степени,

${\displaystyle Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,}$

все двенадцать корней которого удовлетворяют соотношению[2]

${\displaystyle x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}}$.

Числа Салема тесно связаны с числами Пизо — Виджаярагхавана (PV-числами). Наименьшим из PV-чисел является единственный вещественный корень полинома 3-й степени

${\displaystyle x^{3}-x-1,}$

известный как «пластическое число» и приблизительно равный 1,324718. PV-числа можно использовать для генерации семейства чисел Салема, в том числе наименьшего из них. Общий способ — это взять минимальный полином P(x) PV-числа степени n и его обратный полином P*(x) (коэффициенты которого, грубо говоря, образуются «отражением» коэффициентов многочлена P(x) относительно x^n/2) и решить уравнение

${\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)}$

относительно целого n. Вычитая одну сторону из другой, факторизуя и исключая тривиальные множители, можно получить минимальный полином для некоторых чисел Салема. Например, если взять пластическое число, а на месте вышенаписанного плюс-минуса выбрать плюс, то:

${\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1}$

и при n = 8 получим

${\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0,}$

где многочлен 10-й степени — полином Лемера. Используя бо́льшее значение n, получим семейство многочленов, один из корней которых приближается к пластическому числу. Это можно понять, извлекая радикалы n-й степени обеих сторон уравнения,

${\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}$.

Чем больше будет значение n, тем больше x будет приближаться к решению x³ − x − 1 = 0.^{[прояснить]} При выборе положительного знака на месте плюс-минуса корень х приближается к пластическому числу в противоположном^{[каком?]} направлении. Используя минимальный полином ${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1}$ следующего наименьшего PV-числа

${\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),}$

который для n = 7 принимает вид

${\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}$

при степени полинома, не сгенерированной в предыдущем, и имеет корень x ≈ 1,216391…, который является пятым наименьшим известным числом Салема. Поскольку n стремится к бесконечности, это семейство, в свою очередь, стремится к большему вещественному корню из x⁴ − x³ − 1 = 0.

• Borwein, Peter Computational Excursions in Analysis and Number Theory (англ.). — Springer-Verlag, 2002. — (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9. Chap. 3.
• Boyd, David (2001), Salem number, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• M.J. Mossinghoff. Small Salem numbers (неопр.). Дата обращения: 7 января 2016.
• Salem, R. Algebraic numbers and Fourier analysis (неопр.). — Boston, MA: D. C. Heath and Company, 1963. — (Heath mathematical monographs).