Мера Малера

Мера Малера $M(p)$ для многочлена $p(z)$ с комплексными коэффициентами определяется как

M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},

где $p(z)$ разлагается в поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ на множители

p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).

Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел $|p(z)|$ для $z$ на единичной окружности (т.е. $|z|=1$ ):

M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).

В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа $\alpha$ определяется как мера Малера минимального многочлена от $\alpha$ над $\mathbb {Q}$ . В частности, если $\alpha$ является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто $\alpha$ .

Мера Малера названа в честь математика Курта Малера.

Свойства

Мера Малера является мультипликативной: $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ где $\forall$ — квантор всеобщности.
$M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }$ , где среднее степенное $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ является нормой $L_{\tau }$ для многочлена $p$ [1].
(Теорема Кронекера) Если $p$ является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с $M(p)=1$ , то либо $p(z)=z$ , либо $p$ является круговым многочленом.
(Гипотеза Лемера) Если существует константа $\mu >1$ , такая, что если $p$ является неприводимым целочисленным многочленом, то либо $M(p)=1$ , либо $M(p)>\mu$ .
Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.

Мера Малера от нескольких переменных

Мера Малера $M(p)$ для многочлена с несколькими переменными $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ определяется аналогичной формулой[2].

M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).

Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.

Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и $L$ -функций. Например, в 1981 Смит доказал формулы[3]

m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),

где $L(\chi _{-3},s)$ является L-функцией Дирихле, и

m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)

,

где $\zeta$ является дзета-функцией Римана. Здесь $m(P)=\log {M(P)}$ называется логарифмической мерой Малера.

Теорема Лоутона

По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. гипотезу Лемера). Если $p$ обращается в ноль на торе $(S^{1})^{n}$ , то сходимость интеграла, определяющего $M(p)$ , не очевидна, но известно, что $M(p)$ сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной[4], что было высказано в виде гипотезы Бойдом[5][6].

Пусть $\mathbb {Z}$ обозначает целые числа, определим $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}$ . Если $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ является многочленом от $N$ переменных и $r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}$ , то пусть многочлен $Q_{r}(z)$ от одной переменной определяется как

Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),

а $q(r)$ — как

q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}

,

где $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$ .

Теорема (Лоутона): пусть $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие $r_{i}\geq 0$ ):

\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)

Предложение Бойда

Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных[6].

Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида

\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),

где $\Phi _{m}(z)$ — круговой многочлен степени m, $v_{i}$ — целые числа, а $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ выбран минимальным, так что $\Psi (z)$ является многочленом от $z_{i}$ . Пусть $K_{n}$ — множество многочленов, являющихся произведением одночленов $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$ и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.

Теорема (Бойда): пусть $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ является многочленом с целыми коэффициентами — тогда $M(F)=1,$ только когда $F$ является элементом $K_{n}$ .

Это натолкнуло Бойда на мысль рассматреть следующие множества:

L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},

и объединение ${L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}$ . Он выдвинул более «продвинутую» гипотезу[5], что множество ${L}_{\infty }$ является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}$ . Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита^{[прояснить]} вытекает, что $L_{1}\subsetneqq L_{2}$ , Бойд позже высказал гипотезу, что

L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.

См. также

Норма Бомбиери
Высота многочлена

Примечания

Хотя это не является истинной нормой для значений $\tau <1$ .
Schinzel, 2000, с. 224.
Smyth, 2008.
Lawton, 1983.
Boyd, 1981a.
Boyd, 1981b.

Литература

Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — Springer, 2002. — Т. 10. — С. 3, 15. — (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9.
David Boyd. Speculations concerning the range of Mahler's measure // Canad. Math. Bull.. — 1981a. — Т. 24, вып. 4. — С. 453–469. — doi:10.4153/cmb-1981-069-5.
David Boyd. Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables // Journal of Number Theory. — 1981b. — Т. 13. — С. 116–121. — doi:10.1016/0022-314x(81)90033-0.
David Boyd. Number theory for the Millenium / M. A. Bennett. — A. K. Peters, 2002a. — С. 127–143.
David Boyd. Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm // Canadian Mathematical Society Notes. — 2002b. — Т. 34, вып. 2. — С. 3–4, 26–28.
David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahler's measure and the dilogarithm, part 1 // Canadian J. Math.. — 2002. — Т. 54. — С. 468–492. — doi:10.4153/cjm-2002-016-9.
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Mahler measure, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
J.L. Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica. — 1899. — Т. 22. — С. 359–364. — doi:10.1007/BF02417878.
Donald E. Knuth. 4.6.2 Factorization of Polynomials // Seminumerical Algorithms. — 3rd. — Addison-Wesley, 1997. — Т. 2. — С. 439–461, 678–691. — (The Art of Computer Programming). — ISBN 0-201-89684-2.
Wayne M. Lawton. A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials // Journal of Number Theory. — 1983. — Т. 16. — С. 356–362. — doi:10.1016/0022-314X(83)90063-X.
M.J. Mossinghoff. Polynomials with Small Mahler Measure // Mathematics of Computation. — 1998. — Т. 67, вып. 224. — С. 1697–1706. — doi:10.1090/S0025-5718-98-01006-0.
Andrzej Schinzel. Polynomials with special regard to reducibility. — Cambridge University Press, 2000. — Т. 77. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-66225-7.
Chris Smyth. Number Theory and Polynomials / James McKee, Chris Smyth. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 352. — С. 322–349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-71467-9.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Хотя это не является истинной нормой для значений $\tau <1$ .

[_78e6ca1e8b07bdf1-2] Schinzel, 2000, с. 224.

[_1cb22d85c51eac4e-3] Smyth, 2008.

[_1bc0970d70519aa9-4] Lawton, 1983.

[_131bc1b46892c591-5] Boyd, 1981a.

[_7d1d4e16772df1de-6] Boyd, 1981b.