Число Эйзенштейна

Множество целых чисел Эйзенштейна является коммутативным кольцом. Это кольцо содержится в поле алгебраических чисел Q(ω) — в круговом поле третьей степени.

Число ω удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.}$ и является целым алгебраическим числом. Поэтому и все целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами.

Можно также явно выписать многочлен, корнем которого является z = a + bω.

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).}$

Произведение двух чисел Эйзенштейна ${\displaystyle a+b\omega }$ и ${\displaystyle c+d\omega }$ дает

${\displaystyle (a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .}$

Норма целого числа Эйзенштейна есть квадрат абсолютной величины

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},}$

норма целого числа Эйзенштейна, не равного нулю, всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

{±1, ±ω, ±ω²}

А это и есть целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Если x и y — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое, что y = z x.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ux, где u — любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде x² − xy + y² (x, y — целые) и, поэтому, могут быть разложены (x + ωy)(x + ω²y), а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна a + bω, норма которого a² − ab + b² — натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

Это может быть выведено следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

Факторгруппа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности 2, который выделяется наибольшей группой симметрий среди всех комплексных торов действительной размерности 2.

• Гауссовы целые числа
• Кольцо Куммера
• Кубический закон взаимности
• Кватернион Гурвица
• Квадратные числа
• Круговое поле

• Eisenstein Integer--from MathWorld