Подкольцо

Подкольцо кольца ${\displaystyle K}$ — это пара ${\displaystyle (R,i)}$, где ${\displaystyle R}$ — кольцо, а ${\displaystyle i:R\hookrightarrow K}$ — мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.

В классическом определении подкольцо кольца ${\displaystyle (K,+,*)}$ рассматривается как подмножество ${\displaystyle R\subset K}$, замкнутое относительно операций ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle *}$ из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.

В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$: морфизмы (гомоморфизмы) ${\displaystyle f:R\to K}$ в этой категории должны отображать единицу кольца ${\displaystyle R}$ в единицу кольца ${\displaystyle K}$ (аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо ${\displaystyle R}$ кольца ${\displaystyle K}$ также обязано содержать единицу: ${\displaystyle 1_{K}\in R}$.

Категория ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ устроена гораздо лучше, чем ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$, если не оговорено обратное.

Примеры

1. Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$.
2. В ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ идеал является подкольцом только тогда, когда содержит ${\displaystyle 1}$, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ собственные идеалы не являются подкольцами.
3. В ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$ подкольцами в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ являются всевозможные главные идеалы ${\displaystyle (n)=n\mathbb {Z} }$. В ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ не имеет собственных подколец.
4. Кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является подкольцом поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и подкольцом кольца многочленов ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.