Торический узел
Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в .
Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел и . Торическое зацепление возникает, когда и не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю и ). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо , либо равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.
Геометрическое представление
Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.
Обычно используется соглашение, что -торический узел вращается раз вокруг круговой оси тора и раз вокруг оси вращения тора. Если и не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для [1][2][3].
-торический узел может быть задан параметризацией:
- ,
- ,
- ,
где и . Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой (в цилиндрических координатах).
Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв , а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания и из вышеприведённых параметризаций и .
Свойства
Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо , либо равны 1 или −1[2][3].
Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.
-торический узел эквивалентен -торическому узлу[1][3]. -торический узел является обратным (зеркальным отражением) -торического узла[3]. -торический узел эквивалентен -торическому узлу, за исключением ориентации.
Любой -торический узел может быть построен из замкнутой косы с нитями. Подходящее слово косы[4]:
- .
Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращения[2][4][5][6].
Число пересечений -торического узла с задаётся формулой:
- .
Род торического узла с равен:
Многочлен Александера торического узла равен[1][4]:
- .
Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:
- .
Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.
Пусть — -мерный дурацкий колпак с диском, удалённым внутри, — -мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и — факторпространство, полученное отождествлением и вдоль границы окружности. Дополнение - торического узла является деформационным ретрактом пространства . Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:
- .
Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом из этого представления).
Список
- Тривиальный узел, 31-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), 7₁-узел (7,2), 819-узел (4,3), 91-узел (9,2), 10124-узел (5,3).
См. также
- Альтернированный узел
- Узел «Лапчатка»
- Иррациональное обвивание тора
Примечания
- Livingston, 1993.
- Murasugi, 1996.
- Kawauchi, 1996.
- Lickorish, 1997.
- Dehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Архивная копия от 15 апреля 2012 на Wayback Machine
- Birman, Brendle, 2005.
Литература
- Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3.
- Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2.
- Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
- W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X.
- J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X..
- J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8.
Ссылки
- 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
- Weisstein, Eric W. Torus Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Torus knot renderer in Actionscript
- Fun with the PQ-Torus Knot