Многочлен Александера

Пусть K — узел на 3-сфере. Пусть X — бесконечное циклическое накрытие дополнения узла K. Это накрытие можно получить путём разрезания дополнения узла вдоль поверхности Зейферта узла K и склеивания бесконечного числа копий полученного многообразия с границей. Существует накрывающее преобразование t, действующее на X. Обозначим первую группу целочисленных гомологий X как ${\displaystyle H_{1}(X)}$. Преобразование t действует на эту группу, так что мы можем считать ${\displaystyle H_{1}(X)}$ модулем над ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$. Он называется инвариантом Александера или модулем Александера.

Этот модуль конечно порождён. Матрица копредставления для этого модуля называется матрицей Александера. Если число генераторов r меньше либо равно числу соотношений s, то рассмотрим идеал, порождённый минорами матрицы Александера порядка r. Это нулевой идеал Фиттинга, или идеал Александера, и он не зависит от выбора матрицы копредставления. Если r > s, полагаем идеал равным 0. Если идеал Александера главный, то порождающий элемент этого идеала и называется многочленом Александера данного узла. Поскольку порождающая может быть выбрана однозначно с точностью до умножения на одночлен Лорана ${\displaystyle \pm t^{n}}$, часто приводят к определённому уникальному виду. Александер выбирал нормализацию, в которой многочлен имеет положительный постоянный член.

Александер доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует, и ясно, что это инвариант узла, обозначаемый ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$. Многочлен Александера для узла, образованного одной нитью, имеет степень 2 и для зеркального отражения узла многочлен будет тем же самым.

Следующий алгоритм вычисления многочлена Александера была приведена Дж. В. Александером в своей статье.

Возьмём ориентированную диаграмму узла с n пересечениями. Имеется n + 2 областей диаграммы. Чтобы получить многочлен Александера, сначала построим матрицу инцидентности размера (n, n + 2). n строк соответствуют n пересечениям, а n + 2 столбцов соответствуют областям. Значениями элементов матрицы будут 0, 1, −1, t, −t.

Значения элементов матрицы для областей, смежных пересечению. Линия, отмеченная стрелкой, лежит снизу и стрелка указывает направление обхода.

Рассмотрим элемент матрицы, соответствующий некоторой области и пересечению. Если область не прилегает к пересечению, элемент равен 0. Если область прилегает к пересечению, значение элемента зависит от положения. Рисунок справа показывает значение элементов в матрице для пересечения (лежащий ниже участок узла помечен направлением обхода, для лежащего сверху направление не имеет значения). Следующая таблица задаёт значения элементов в зависимости от положения, области относительно лежащей снизу линии.

слева до пересечения: −t

справа до пересечения: 1

слева после пересечения: t

справа после пересечения: −1

Удалим два столбца, соответствующих смежным регионам из матрицы, и вычислим определитель полученной n х n матрицы. В зависимости от того, какие столбцы удалены, ответ будет отличаться на множитель ${\displaystyle \pm t^{n}}$. Во избежание неоднозначности разделим многочлен на наибольшую возможную степень t и умножим на −1, если необходимо, для получения положительного коэффициента. Полученный многочлен есть многочлен Александера.

Многочлен Александера можно вычислить, исходя из матрицы Зейферта.

После работы Александера Р. Фокс рассматривал копредставление группы узла ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$, и предложил некоммутативный метод вычисления[2], который также позволяет вычислить ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$. Детальное изложение этого подхода можно найти в книге Crowell & Fox (1963).

Вычисление многочлена Александера для трилистника.
Стрелка показывает направление обхода, линия со стрелкой проходит снизу.

Построим многочлен Александера для трилистника. На рисунке показаны области (A0, A1, A2, A3, A4) и точки пересечения (P1, P2, P3), а также значения элементов таблицы (рядом с точками пересечения).

Таблица Александера для трилистника примет вид:

Отбросим первые два столбца и вычислим определитель: ${\displaystyle -t^{3}-t+t^{2}}$.

Разделив полученное выражение на ${\displaystyle -t}$, получим многочлен Александера для трилистника: ${\displaystyle t^{2}-t+1}$.

Многочлен Александера симметричен: ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$ для всех узлов K.

С точки зрения определения выше, это выражение изоморфизма Пуанкаре ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ где ${\displaystyle G}$ — факторгруппа поля частных кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$, рассматриваемого как ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-модуль, а ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ — сопряжённый ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-модуль к ${\displaystyle H_{1}X}$ (как абелева группа он идентичен ${\displaystyle H_{1}X}$, но накрывающее отображение ${\displaystyle t}$ действует как ${\displaystyle t^{-1}}$).

Кроме того, многочлен Александера принимает значение в 1, по модулю равное единице: ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}$.

С точки зрения определения, это выражение факта, что дополнение узла -- гомологическая окружность, первые гомологии которой порождены накрывающим преобразованием ${\displaystyle t}$. Более общо, если ${\displaystyle M}$ является 3-многообразием, таким, что ${\displaystyle \mathrm {rank} (H_{1}M)=1}$, оно имеет многочлен Александера ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$, определённый как порядковый идеал бесконечного циклического накрывающего пространства. В этом случае ${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$, с точностью до знака, равно порядку подгруппы кручения ${\displaystyle H_{1}M}$.

Известно, что любой лорановский многочлен с целыми коэффициентами, который симметричен и в точке 1 имеет по модулю значение 1, является многочленом Александера некоторого узла[3].

Поскольку идеал Александера является главным, ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$ тогда и только тогда, когда группы узла совершенна (её коммутант совпадает со всей группой узла).

Для топологически срезанного узла многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса-Милнора ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$, где ${\displaystyle f(t)}$ — некий другой лорановский многочлен с целыми коэффициентами.

Удвоенный род узла ограничен снизу степенью многочлена Александера.

Михаэль Фридман доказал, что узел на 3-сфере является топологически срезанным, то есть границами «локально плоского» топологического диска на 4-мерном шаре, если многочлен Александера узла тривиален[4].

Кауфман[5] описывает построение многочлена Александера через суммы состояний физических моделей. Обзор этого подхода, а также других связей с физикой даны в статье Кауфмана (Kauffman, 2001).

Имеются также другие связи с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при некоторых предположениях допустима хирургия на 4-многообразии, при которой окрестность двумерного тора заменяется на дополнение узла, умноженное на S¹. Результатом будет гладкое 4-многообразие, гомеоморфное исходному, хотя инвариант Зайберга — Виттена меняется (умножается на многочлен Александера узла)[6].

Известно, что узлы с симметрией имеют ограниченные полиномы Александера. См. раздел симметрии в работе Каваути[3]. Однако многочлен Александера может не заметить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость.

Если дополнение узла является расслоением над окружностью, то многочлен Александера узла монарен (коэффициенты при старшем и младшем членах равны ${\displaystyle \pm 1}$). Пусть ${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$ — расслоение, где ${\displaystyle C_{K}}$ — дополнение узла. Обозначим отображение монодромии как ${\displaystyle g:S\to S}$. Тогда ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=Det(tI-g_{*})}$, где ${\displaystyle g_{*}:H_{1}(S)\to H_{1}(S)}$ — индуцированное отображение в гомологиях.

Пусть ${\displaystyle K}$ — сателлитный узел со спутником ${\displaystyle K'}$, то есть существует вложение ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$, такое что ${\displaystyle K=f(K')}$, где ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ — незаузлённый сплошной тор, содержащий ${\displaystyle K}$. Тогда ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$. Здесь ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ — целое число, которое представляет ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ в ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$.

Пример: Для связной суммы узлов ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$. Если ${\displaystyle K}$ является нескрученным двойным узлом Уайтхеда, то ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$.

Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. Версия Конвея является многочленом от z с целочисленными коэффициентами, обозначается ${\displaystyle \nabla (z)}$ и называется многочленом Александера — Конвея (а также многочленом Конвея или многочленом Конвея — Александера).

Рассмотрим три диаграммы ориентированных зацеплений ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$.

Скейн-соотношения Конвея:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$ (где O — диаграмма тривиального узла)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

Связь со стандартным многочленом Александера задаётся соотношением ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$. Здесь ${\displaystyle \Delta _{L}}$ должен быть должным образом нормализован (умножением на ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$) чтобы выполнялось скейн-соотношение ${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$. Заметим, что это даёт многочлен Лорана от t^1/2.

В работах Ожвата и Сабо[7] и Расмуссена[8] многочлен Александера представлен как эйлерова характеристика комплекса, гомологии которого являются изотопическими инвариантами рассматриваемого узла ${\displaystyle K}$, поэтому теория гомологий Флоера является категорификацией полинома Александера. Подробнее см. в статье «гомологии Хованова»[9].

• J. W. Alexander. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1928. — Т. 30, вып. 2. — С. 275–306. — doi:10.2307/1989123.
• R. Crowell, R. Fox. Introduction to Knot Theory. — Ginn and Co. after 1977 Springer Verlag, 1963.
• Colin C. Adams. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Revised reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3678-1. (accessible introduction utilizing a skein relation approach)
• R. Fox. A quick trip through knot theory, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, edited by M.K.Fort. — Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall, 1961. — С. 120–167.
• Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topology of 4-manifolds. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. — Т. 39. — (Princeton Mathematical Series). — ISBN 0-691-08577-3.
• Louis Kauffman. Formal Knot Theory. — Princeton University press, 1983.
• Louis Kauffman. Knots and Physics. — World Scientific Publishing Companey, 2001.
• Akio Kawauchi. A Survey of Knot Theory. — Birkhauser, 1996. (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
• M. Khovanov. Link homology and categorification. — 2006. — arXiv:math/0605339.
• Peter Ozsvath, Zoltan Szabo. Holomorphic disks and knot invariants // Adv. Math., no., 58--6. — 2004. — Т. 186, вып. 1. — С. 58–116. — doi:10.1016/j.aim.2003.05.001. — . — arXiv:math/0209056.
• J. Rasmussen. Floer homology and knot complements. — 2003. — С. 6378. — . — arXiv:math/0306378.
• Dale Rolfsen. Knots and Links. — 2nd. — Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. — ISBN 0-914098-16-0. (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)

• Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
• Main Page и The Alexander-Conway Polynomial, The Knot Atlas. — таблица узлов и зацеплений с вычисленными многочленами Александера и Конвея