Многочлен узла

Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.

В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея. Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса. Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY.

Вскоре после открытия Джонса Луис Кауфман заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауфмана, инвариант оснащённых узлов. Это открыло широкую дорогу для исследований в области теории зацепления узлов и статистической механике.

В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса; Виктор Васильев и Михаил Гусаров создали теорию инвариантов конечного типа узлов. Известно, что коэффициенты упомянутых многочленов имеют конечный тип (возможно, после некоторой «подстановки переменных»).

В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с гомологией Флоера. Градуированная эйлерова характеристика гомологии Хегора — Флоера Ожвата и Сабо является многочленом Александера[1].

Запись Александера — Бриггса	Многочлен Александера ${\displaystyle \Delta (t)}$	Многочлен Конвея${\displaystyle \nabla (z)}$	многочлен Джонса ${\displaystyle V(q)}$	Многочлен HOMFLY${\displaystyle H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{1}}$ (Тривиальный узел)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3_{1}}$ (Трилистник)	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\displaystyle 4_{1}}$ (Восьмёрка)	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle 5_{1}}$ (Лапчатка)	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
${\displaystyle -}$ (Бабий узел)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle -}$ (Прямой узел)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите Список простых узлов).

Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники.

• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ даёт произведение многочленов узлов.

• Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9.
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York: Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X.
• Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вып. 7.