Инвариант узла
Инвариа́нт узла́ — любая характеристика узла (в простейшем число, но может быть многочленом, группой и так далее), которая определена для каждого узла и одинакова для эквивалентных узлов. Эквивалентность обычно задаётся объемлющей изотопией, но может задаваться и как гомеоморфизм.
Исследования инвариантов мотивированы не только основной задачей теории — различением узлов — но также и необходимостью понять фундаментальные свойства узлов и их связью с другими областями математики.
С современной точки зрения, естественно определять инвариант узла по его диаграмме. Конечно, инвариант должен оставаться неизменным при движениях Рейдемейстера, это свойство эквивалентно инвариантности характеристики.
Примеры
- Простейшим примером инварианте является возможность раскрасить в три цвета а также число таких раскрасок.
- Одними из самых удобных инвариантов для различения узлов являются многочлены узлов
- Инварианты конечного типа — класс инвариантов узлов, характеризующийася определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.
- Другие инварианты могут быть определены при рассмотрении некоторых целочисленных функций на узловых диаграммах, взятием их минимума среди всех возможных диаграмм данного узла. К этому типу относится число сечений, которое является минимумом количества перекрёстов среди всех диаграмм узла, а также минимальное число мостов. Такие инварианты легко определить на почти невозможно посчитать.
- Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения. Квандл узла (knot quandle) также является полным инвариантом в этом смысле, но квандлы трудно сравнивать на изоморфность.
- Гиперболическая структура на дополнении гиперболического зацепления однозначно определяется жёсткостью Мостова, поэтому гиперболический объём инвариантен для этих узлов и зацеплений. Объём и другие гиперболические инварианты оказались эффективныи, для составления обширных таблиц узлов.
- гомологические инварианты узлов, которые категорифицируют (переводят в термины теории категорий) хорошо известные инварианты. Например
- Гомология Хигарда Флора — это теория гомологии, эйлеровой характеристикой которой является полином Александера узла. Она оказалась полезной для получения новых результатов о классических инвариантах.
- Ещё одно направление исследований — комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика — полином Джонса.
Литература
- С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер.~3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.