Инвариант конечного типа

Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.

Определение

Пусть — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть есть вещественное число определённое для каждого узла , такое, что , если узлы и изотопны.

Рассмотрим плоскую диаграмму узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до .

Для набора , где рассмотрим диаграмму , полученную из изменением перекрестков по такому правилу: если , то -й перекресток не меняется, а если , то меняется на противоположный.

Пусть неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы и любого выбора перекрёстков выполняется тождество

то говорят, что имеет степень не выше .

Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.

Примеры

  • Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
  • Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.

Свойства

  • Инварианты степени не выше образуют векторное пространство . При этом
    • и являются одномерными, то есть инварианты степени не выше — это только константы.

Открытые вопросы

  • Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла и не изотопны, то найдется инвариант конечного типа такой, что ?

История

Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990),[1] Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991[2].

В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе.[3] С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».

Примечания

  1. V. A. Vassiliev. Cohomology of knot spaces // Advances in Soviet Math.. — 1990. Т. 1. С. 23–69.
  2. М. Н. Гусаров. Новая форма многочлена Конвея — Джонса ориентированных зацеплений // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1991. Т. 193.
  3. V. I. Arnold. Vassiliev’s theory of discriminants and knots // First European Congress of Mathematicians. — 1992. Т. 1. С. 3–29.

Литература


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.