Инвариант конечного типа
Инвариант конечного типа (или инвариант Васильева) — класс инвариантов узлов, характеризующийся определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.
Определение
Пусть — инвариант узлов со значениями в вещественных числах, то есть есть вещественное число определённое для каждого узла , такое, что , если узлы и изотопны.
Рассмотрим плоскую диаграмму узла и выберем некоторое подмножество её перекрестков, состоящее из элементов. Пронумеруем эти перекрёстки от 1 до .
Для набора , где рассмотрим диаграмму , полученную из изменением перекрестков по такому правилу: если , то -й перекресток не меняется, а если , то меняется на противоположный.
Пусть неотрицательное целое число. В случае если для любой диаграммы и любого выбора перекрёстков выполняется тождество
то говорят, что имеет степень не выше .
Инварианты конечной степени называются инвариантами конечного типа.
Примеры
- Все известные полиномиальные инварианты узлов выражаются через инварианты конечного типа.
- Коэффициент при квадратичном члене в многочлене Александера является инвариантом конечного типа степени два.
- Любой коэффициент в интеграле Концевича является инвариантом конечного типа.
Свойства
- Инварианты степени не выше образуют векторное пространство . При этом
- и являются одномерными, то есть инварианты степени не выше — это только константы.
Открытые вопросы
- Образуют ли инварианты конечного типа полную систему инвариантов? То есть верно ли, что если два узла и не изотопны, то найдется инвариант конечного типа такой, что ?
История
Инварианты узлов конечного типа были предложены независимо Васильевым и Гусаровым в конце 1980-х годов. Васильеву принадлежат первые публикации на эту тему (1990),[1] Гусаров, выступил на семинаре Рохлина в 1987 году а первая публикация вышла только в 1991[2].
В 1992 году Арнольд сделал на эту тему доклад на Европейском математическом конгрессе.[3] С этих пор закрепился термин «инварианты Васильева».
Примечания
- V. A. Vassiliev. Cohomology of knot spaces // Advances in Soviet Math.. — 1990. — Т. 1. — С. 23–69.
- М. Н. Гусаров. Новая форма многочлена Конвея — Джонса ориентированных зацеплений // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1991. — Т. 193.
- V. I. Arnold. Vassiliev’s theory of discriminants and knots // First European Congress of Mathematicians. — 1992. — Т. 1. — С. 3–29.
Литература
- С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер. 3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.