Инвариант Концевича

Представим трехмерное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как прямое произведение комплексной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатой z и вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатой t. Вложим зацепление ${\displaystyle L=K\cup K'}$ в пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=z\times t}$ так, чтобы координата t была функцией Морса на L. Это значит, что во всех точках, где t как функция параметра на кривой имеет нулевую производную, ее вторая производная не должна обращаться в нуль, а значения t во всех таких точках (критические значения) должны быть различны между собой[5]. Оказывается, число зацепления можно тогда сосчитать по такой формуле:

${\displaystyle lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int _{m}^{M}\sum _{j}{\varepsilon _{j}{\frac {d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}}$

(Исходный) интеграл Концевича узла K — это следующий элемент пополнения алгебры ${\displaystyle {\bar {\mathcal {A}}}}$ хордовых диаграмм[5]:

${\displaystyle Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m}}}\int _{t_{min}<t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(-1)^{\downarrow }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j}}}}}}}$

Объяснение этой формулы см. в статье С. В. Дужина. Если обозначить через H тривиальный узел, вложение которого в пространство даёт два максимума и два минимума, получим[6]:

${\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2}}}}$,

где c — число критических точек функции t на K.

Можно показать, что интеграл ${\displaystyle Z(K)}$, во-первых, сходится для любого узла, расположенного в пространстве указанным выше способом, а во-вторых, не меняется при гладких изотопиях узла, при которых сохраняется число критических точек функции t. Ввиду того, что узел — замкнутая кривая, появляться и исчезать критические точки могут только парами.

${\displaystyle I(K)}$ называется окончательным интегралом Концевича

Интеграл Концевича — довольно сложный объект, и в течение нескольких лет никто не умел вычислять окончательный интеграл Концевича даже для тривиального узла. Известны были лишь коэффициенты при некоторых хордовых диаграммах в бесконечной сумме.

В 1997 году появилась гипотеза Д. Бар-Натана с соавторами[7] (доказана в 1998[8]), что[9]

${\displaystyle I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty }{b_{2n}w_{2n}}}$,

здесь O — неузел (окружность), эквивалентный H, ${\displaystyle b_{2n}}$ — модифицированные числа Бернулли, а ${\displaystyle w_{2n}}$ — колёса, т.е. диаграммы в виде окружности с радиальными отрезками. Произведения колёс понимаются как несвязное объединение диаграмм, а сами колёса интерпретируются как линейные комбинации диаграмм Фейнмана (см. ниже).

Диаграмма Фейнмана степени n — это связный трёхвалентный граф с 2n вершинами, в котором выделен ориентированный цикл, называемый петлёй Уилсона[10]. Хордовая диаграмма является частным случаем диаграмм Фейнмана (у них все трёхвалентные вершины лежат на петле Уилсона). Степень диаграммы Фейнмана — это половина общего числа вершин графа. Диаграмма Фейнмана называется связной, если соответствующий граф остаётся связным после отбрасывания петли Уилсона[3].

Пример диаграммы Якоби

Пусть X — окружность (которая является 1-мерным многообразием и будет служить петлёй Уилсона). Как показано на рисунке справа, диаграмма Якоби порядка n является графом с 2n вершинами, в котором внешняя окружность (петля Уилсона) отражена сплошной линией, а пунктирные линии называются внутренним графом, который удовлетворяет следующим условиям:

1. Направление указывается только на внешнем цикле.
2. Вершины имеют значения 1 или 3. Вершины со значением 3 связаны с одним из других (полу)рёбер по часовой или против часовой стрелки, что отражено в маленькой ориентированной окружности.

Вершины со значением 1 часто называют одновалентными, а со значением 3 — трёхвалентными[11]. Одновалентные вершины связаны с внешней окружностью без кратности и упорядочены ориентацией окружности. Диаграмма Якоби может быть несвязной, при этом требуется, чтобы в каждой компоненте связности была хотя бы одна одновалентная вершина[11]. Рёбра на G называются хордами. Мы обозначаем как A(X) факторпространство коммутативной группы, образованной всеми диаграммами Якоби на X по следующим соотношениям:

(Соотношение AS) + = 0

( Соотношение IHX) = −

( Соотношение STU) = −

(Соотношение FI) = 0.

Если любая связная компонента графа G имеет вершину со значением 3, то мы можем превратить диаграмму Якоби в хордовую диаграмму с помощью рекурсивного применения соотношения STU. Если ограничиться только хордовыми диаграммами, то четыре соотношения выше сводятся к следующим двум соотношениям:

(Четырёхчленное соотношение) − + − = 0.

(Соотношение FI) = 0.

Замечание: В диаграммах Якоби разрешены кратные рёбра и висячие петли[12].

Взяв среднее арифметическое по всем способам приклеивания петли Уилсона к одновалентным вершинам, любую диаграмму Якоби можно превратить в линейную комбинацию диаграмм Фейнмана[11].

Работать с диаграммами Якоби удобнее, чем с диаграммами Фейнмана, поскольку, помимо общей градуировки половиной числа вершин, есть ещё две дополнительные градуировки: по числу компонент связности и по числу одновалентных вершин[13].

• Степень или порядком диаграммы Якоби определяется как половина суммы чисел её вершин. Это число всегда является целым и равно числу хорд в хордовой диаграмме, полученной из диаграммы Якоби[12].
• Подобно плетениям, диаграммы Якоби образуют моноидальную категорию. Композиция и тензорное произведение морфизмов определяются методом «укладки коробок»:

Иначе говоря, тензорное произведение морфизмов — это несвязное объединение, а композиция — склейка соответствующих частей границы[14].

• • В специальном случае, когда X является интервалом I, A(X) будет коммутативной алгеброй. Если рассматривать A(S¹) как алгебру с умножением, определённым как связная сумма, A(S¹) изоморфна A(I).
• Диаграмму Якоби можно рассматривать как абстракцию представления тензорной алгебры, порождённой алгебрами Ли, что позволяет нам определить некоторые операции, аналогичные to копроизведениям, коединицам и антиподам алгебр Хопфа.
• Поскольку Инварианты Васильева (инварианты конечного типа) тесно связаны с хордовыми диаграммами, можно построить сингулярный узел из хордовой диаграммы G на S¹. K_n обозначает пространство, образованное всеми сингулярными узлами степени n, каждый такой G определяет единственный элемент в K_m / K_m+1.

Отображение из диаграмм Якоби в положительные числа называется весовой системой. Отображение, расширенное на A(X), также называется весовой системой. Системы имеют следующие свойства:

• Пусть g — полупростая алгебра Ли, а ρ — её представление. Мы получаем весовую систему путём «подстановки» инвариантного тензора g в хорду диаграммы Якоби и ρ в базисном многообразии X диаграммы Якоби.
  • Мы можем рассматривать трёхвалентные вершины диаграмм Якоби как скобочное произведение алгебры Ли, стрелки сплошной линии как представление пространства ρ, а одновалентные вершины как действия алгебры Ли.
  • Соотношение IHX и соотношение STU соответствуют соответственно тождеству Якоби и определению представления

ρ([a, b])v = ρ(a)ρ(b)v − ρ(b)ρ(a)v.

• Весовая система играет существенную роль в доказательстве гипотезы Мервина — Мортона[15], которая устанавливает связь многочленов Александера с многочленами Джонса.

Диаграммы Якоби были введены по аналогии с диаграммами Фейнмана, когда Концевич определил инварианты узла через кратные интегралы в первой половине 1990-х годов[16]. Он представлял сингулярные точки хордами, таким образом, он работал только с хордовыми диаграммами. Д. Бар-Натан позднее сформулировал их как одно- и трёхвалентные графы, изучал их алгебраические свойства и назвал их в своей статье "диаграммами китайских иероглифов" (Chinese character diagrams)[17]. Для обозначения этих диаграмм использовались разные термины, включая «хордовые диаграммы» и «диаграммы Феймана», но примерно с 2000-го года они получили название диаграмм Якоби, поскольку соотношение IHX соответствует тождеству Якоби для алгебр Ли.