Многочлен Кауфмана
Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Луисом Кауфманом. Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:
- ,
где — закрученность диаграммы зацепления и — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:
- ( — тривиальный узел);
- ;
- не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.
Здесь — нить, а (соответственно, ) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).
Кроме того, должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:
Рисунки представляют многочлен диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовне[уточнить].
Кауфман показал, что существует и является регулярным изотопным инвариантом неориентированных зацеплений. Откуда следует, что является объемлющим изотопным инвариантом ориентированных зацеплений.
Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда сужается до скобок Кауффмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для [1].
Примечания
- Witten. «Quantum field theory and the Jones polynomial» // Commun. Math. Phys.
Литература
- Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1.
Ссылки
- Springer EoM entry for Kauffman polynomial
- The_Kauffman_Polynomial, the Knot Atlas