Хиральный узел

В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый [1].

История вопроса

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но Морвен Тислуэйт в 1998 году нашёл контрпример[2]. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов[3].

Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений
Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS sequence
Хиральные узлы 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N/A
Двусторонние узлы 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769
Полностью хиральные узлы 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766
Амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401
Положительно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767
Отрицательно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768
Полностью амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400
  • Оба возможных трилистника.
  • Левый трилистник.
  • Правый трилистник.

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если Vk(q) ≠ Vk(q−1), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность[4].

Двусторонний узел

Обратимый хиральный узел называется двусторонним[5]. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узел

Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32[5].

Амфихиральный узел
восьмёрка является простейшим амфихиральным узлом.

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.[3]

Полная амфихиральность

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Положительная амфихиральность

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным[5].

Отрицательная амфихиральность
Первый отрицательно амфихиральный узел.

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 817[5].

Примечания
  1. Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33—48.
  2. Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links Архивная копия от 20 августа 2011 на Wayback Machine», LinKnot.
  3. Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
  4. «Chirality of Knots 942 and 1071 and Chern-Simons Theory» by P. Ramadevi, T. R. Govindarajan, and R. K. Kaul
  5. Three Dimensional Invariants Knot Atlas

Литература
  • Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.