Обратимый узел

В теории узлов обратимый узел — это узел, который может быть непрерывной деформацией переведён в себя, но с обратной ориентацией. Необратимый узел — это любой узел, который не имеет такого свойства. Обратимость узла является инвариантом узла. Обратимое зацепление — это зацепление с таким же свойством.

Существует только пять типов симметрии узлов, определяемые хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, двухсторонний, положительно ахиральный необратимый, отрицательно ахиральный необратимый и полностью ахиральный обратимый[1].

История вопроса
Число обратимых и необратимых узлов по числу пересечений
Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS последовательность
Необратимые узлы 0 0 0 0 0 1 2 33 187 1144 6919 38118 226581 1309875 последовательность A052402 в OEIS
Обратимые узлы 1 1 2 3 7 20 47 132 365 1032 3069 8854 26712 78830 последовательность A052403 в OEIS

Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и восьмёрка, обратимы. В 1962 году Ральф Фокс (англ. Ralph Fox) высказал предположение, что некоторые узлы необратимы, но не было доказано их существование, пока в 1963 году Троттер (H.F. Trotter) не обнаружил бесконечное семейство необратимых кружевных зацеплений[2]. Теперь известно, что почти все узлы необратимы[3].

Обратимые узлы
Простейший нетривиальный обратимый узел, трилистник. Вращение узла на 180 градусов в 3-мерном пространстве вокруг оси на плоскости рисунка даёт тот же самый рисунок, но с противоположным направлением стрелки ориентации.

Все узлы с числом пересечений 7 и менее обратимы. Не известно общего метода, который дал бы ответ обратим узел или нет[4]. Проблему можно перевести в алгебраическую терминологию [5], но, к сожалению, не известно алгоритма решения этой алгебраической задачи.

Если узел обратим и ахирален, он полностью ахирален. Простейший узел с этим свойством — это восьмёрка. Хиральные обратимые узлы классифицируются как двухсторонние[6].

Строго обратимые узлы

Более абстрактный способ определения обратимого узла — сказать, что существует гомеоморфизм 3-сферы, переводящий узел в себя, но меняющий ориентацию узла на противоположную. Если использовать вместо гомеоморфизма более строгое условие — инволюцию — получим определение строго обратимого узла. Все узлы с туннельным числом единица, такие как трилистник и восьмёрка, строго обратимы[7].

Необратимые узлы
Узел 817, простейший из необратимых.

Простейшим примером необратимого узла служит 817 (в обозначениях Александера — Бриггса) или .2.2 (в обозначениях Конвея). Кружевной узел 7, 5, 3 необратим, как и все кружевные узлы вида (2p + 1), (2q + 1), (2r + 1), где p, q и r — различные целые, что даёт бесконечное семейство узлов, необратимость которых доказана Троттером[8].

См. также

Примечания
  1. Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33–48.
  2. Trotter, 1963, с. 275–280.
  3. Murasugi, 2007, с. 45.
  4. Weisstein, Eric W. Invertible Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
  5. Kuperberg, 1996, с. 173–181.
  6. Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013.
  7. Morimoto, 1995, с. 3527—3532 Лемма 5.
  8. Trotter, 1963, с. 275—280.

Литература
  • Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.
  • H.F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
  • Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
  • Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вып. 2. — doi:10.1142/S021821659600014X. — arXiv:q-alg/9712048.
  • W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
  • Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вып. 11. — doi:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — .

Внешние ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.