Поверхность Зейферта
В математике, поверхность Зейферта — поверхность, границей которой является заданный узел или зацепление. Такие поверхности зачастую бывают полезны при исследовании соответствующего узла или зацепления. В частности, многие инварианты узлов проще всего вычисляются с её помощью. Поверхности Зейферта интересны и сами по себе, как объекты исследования. Названы в честь Герберта Зейферта.
Определение
Пусть — ручной ориентированный узел или зацепление в трёхмерном пространстве (или на трёхмерной сфере). Поверхностью Зейферта называется компактная связная ориентированная поверхность , вложенная в трёхмерное пространство таким образом, что её границей является , причём ориентация на поверхности индуцирует исходную ориентацию на .
Подчеркнем, что поверхность Зейферта должна быть ориентирована.
Примеры
- Всякая компактная связная ориентированная поверхность с непустой границей в трехмерном пространстве является поверхностью Зейферта своей границы.
- Стандартный лист Мёбиуса имеет в качестве границы тривиальный узел, однако не является его поверхностью Зейферта, поскольку лист Мёбиуса неориентируем.
Род узла
Поверхность Зейферта данного узла или зацепления определена неоднозначно: один и тот же узел (или зацепление) может иметь несколько различных поверхностей Зейферта, минимально возможный род такой поверхности называется родом узла, является его инвариантом и обозначается через .
К примеру:
- Род тривиального узла равен 0 (поскольку он является границей диска); обратно, если род узла равен нулю, то узел тривиален.
- Трилистник, как и восьмёрка, имеют род 1.
- Род торического узла типа равен .
- Степень полинома Александера является оценкой снизу на удвоенный род узла.
Фундаментальным свойством рода является его аддитивность по отношению к связной сумме узлов:
Ссылки
- SeifertView programme — построение поверхностей Зейферта для различных узлов.