Поверхность Боя

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом.[1]

Для комплексного числа ${\displaystyle w}$, пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}$

Поверхность ${\displaystyle w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})}$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность ${\displaystyle w\mapsto (x,\;y,\;z)}$ задаваемая как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.}$

и есть поверхности Боя.

• поверхность Морина

• Kirby, Rob (November 2007), What is Boy's surface?, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1306–1307, <http://www.ams.org/notices/200710/tx071001306p.pdf> описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
  • Casselman, Bill (November 2007), Collapsing Boy's Umbrellas, Notices of the AMS Т. 54 (10): 1356, <http://www.ams.org/notices/200710/200710-about-the-cover.pdf> Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Kusner, Rob (1987), Conformal geometry and complete minimal surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society (New series) Т. 17 (2): 291–295, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9, <http://www.ams.org/bull/1987-17-02/S0273-0979-1987-15564-9/S0273-0979-1987-15564-9.pdf>.
• Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach, <https://www.mfo.de/about-the-institute/history/boy-surface/the-boy-surface-at-oberwolfach>.
• Morin, Bernard (1978), Equations du retournement de la sphère, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 287 (13): A879–A882
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's.

• Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки
• - апплет плюс журнал.
• , содержит в том числе оригинальные статьи, и внедрение в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
• Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
• Модель на основе java, которая может быть свободно повернута
• Поверхность поля линии окраски
• поверхность Боя визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
• как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.