Точки Лагранжа

Точка L₁ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M₂ частично компенсирует гравитацию тела M₁. При этом чем больше M₂, тем дальше от него будет располагаться эта точка.

Пример: Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете — в точке L₁ — действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли. Для нашей планеты расстояние до точки L₁ составляет около 1,5 млн км. Притяжение Солнца здесь (118 мкм/с²) на 2 % сильнее, чем на орбите Земли (116 мкм/с²), тогда как снижение требуемой центростремительной силы вдвое меньше (59 мкм/с²). Сумма этих двух эффектов уравновешивается притяжением Земли, которое составляет здесь также 177 мкм/с².

В системе Солнце—Земля точка L₁ может быть идеальным местом для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Первым аппаратом, работавшим вблизи этой точки, был запущенный в августе 1978 года аппарат ISEE-3. Аппарат вышел на периодическую гало-орбиту вокруг этой точки 20 ноября 1978 года[3] и был сведён с этой орбиты 10 июня 1982 года (для исполнения новых задач)[4]. На такой же орбите с мая 1996 года работает аппарат SOHO. Аппараты ACE, WIND и DSCOVR находятся на квази-периодических орбитах Лиссажу́ близ этой же точки, соответственно, с 12 декабря 1997[5], 16 ноября 2001 и 8 июня 2015 года[6]. В 2016—2017 годах также в окрестностях этой точки проводил эксперименты аппарат LISA Pathfinder.[7]

Лунная точка L₁ (в системе Земля — Луна; удалена от центра Земли примерно на 315 тыс.км[8]) может стать идеальным местом для строительства космической пилотируемой орбитальной станции, которая, располагаясь на пути между Землёй и Луной, позволила бы легко добраться до Луны с минимальными затратами топлива и стать ключевым узлом грузового потока между Землёй и её спутником[9].

Точка L₂ в системе Солнце — Земля, располагающаяся далеко за пределами орбиты Луны (масштаб не соблюдён)

Точка L₂ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с меньшей массой. Точки L₁ и L₂ располагаются на одной линии и в пределе M₁ ≫ M₂ симметричны относительно M₂. В точке L₂ гравитационные силы, действующие на тело, компенсируют действие центробежных сил во вращающейся системе отсчёта.

Пример: у объектов, расположенных за орбитой Земли (от Солнца), орбитальный период почти всегда больше, чем у Земли. Но дополнительное влияние на объект силы тяжести Земли, помимо действия солнечной гравитации, приводит к увеличению скорости вращения и уменьшению времени оборота вокруг Солнца, в результате в точке L₂ орбитальный период объекта становится равным орбитальному периоду Земли.

Если M₂ много меньше по массе, чем M₁, то точки L₁ и L₂ находятся на примерно одинаковом расстоянии r от тела M₂, равном радиусу сферы Хилла:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{2}}{3M_{1}}}}}$

где R — расстояние между компонентами системы.

Это расстояние можно описать как радиус круговой орбиты вокруг M₂, для которой период обращения в отсутствие M₁ в ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}$ раз меньше, чем период обращения M₂ вокруг M₁.

Точка L₂ системы Солнце—Земля (1 500 000 км от Земли) является идеальным местом для расположения орбитальных космических обсерваторий и телескопов. Поскольку объект в точке L₂ способен длительное время сохранять свою ориентацию относительно Солнца и Земли, производить его экранирование и калибровку становится гораздо проще. Однако эта точка расположена немного дальше земной тени (в области полутени)[прим. 1], так что солнечная радиация блокируется не полностью. На гало-орбитах вокруг этой точки на 2021 год располагались аппараты Gaia и Спектр-РГ. Ранее там действовали такие телескопы как «Планк» и «Гершель». С 2022 года это место расположения крупнейшего космического телескопа в истории Джеймс Уэбб.

Точка L₂ системы Земля—Луна (61 500 км от Луны) может использоваться для обеспечения спутниковой связи с объектами на обратной стороне Луны; впервые эту возможность реализовал в 2018 году китайский спутник Цюэцяо, ретранслятор первой в истории миссии на обратной стороне Луны Чанъэ-4.

Три из пяти точек Лагранжа расположены на оси, соединяющей два тела

Точка L₃ лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M₁ и M₂ (M₁ > M₂), и находится за телом с бо́льшей массой. Так же, как для точки L₂, в этой точке гравитационные силы компенсируют действие центробежных сил.

Пример: точка L₃ в системе Солнце — Земля находится за Солнцем, на противоположной стороне земной орбиты. Однако, несмотря на свою малую (по сравнению с cолнечной) гравитацию, Земля всё же оказывает там небольшое влияние, поэтому точка L₃ находится не на самой орбите Земли, а чуть ближе к Солнцу (на 263 км, или около 0,0002 %)[10], так как вращение происходит не вокруг Солнца, а вокруг барицентра[10]. В результате в точке L₃ достигается такое сочетание гравитации Солнца и Земли, что объекты, находящиеся в этой точке, движутся с таким же орбитальным периодом, как и наша планета.

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L₃ другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L₃ в системе Солнце — Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 а.е. от точки L₃ и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце — Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно[11]. С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м[12].

Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L₃, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAA Space Weather Prediction Center). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например к Марсу или астероидам. В 2010 году были изучены несколько вариантов запуска подобного спутника[13]

Гравитационное ускорение в точке L₄

Если на основе линии, соединяющей оба тела системы, построить два равносторонних треугольника, две вершины которых соответствуют центрам тел M₁ и M₂, то точки L₄ и L₅ будут соответствовать положению третьих вершин этих треугольников, расположенных в плоскости орбиты второго тела в 60 градусах впереди и позади него.

Наличие этих точек и их высокая стабильность обусловливается тем, что, поскольку расстояния до двух тел в этих точках одинаковы, то силы притяжения со стороны двух массивных тел соотносятся в той же пропорции, что их массы, и таким образом результирующая сила направлена на центр масс системы; кроме того, геометрия треугольника сил подтверждает, что результирующее ускорение связано с расстоянием до центра масс той же пропорцией, что и для двух массивных тел. Так как центр масс является одновременно и центром вращения системы, результирующая сила точно соответствует той, которая нужна для удержания тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с остальной системой. (На самом деле, масса третьего тела и не должна быть пренебрежимо малой). Данная треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем во время работы над задачей трёх тел. Точки L₄ и L₅ называют треугольными (в отличие от коллинеарных).

Также точки называют троянскими: это название происходит от троянских астероидов Юпитера, которые являются самым ярким примером проявления этих точек. Они были названы в честь героев Троянской войны из «Илиады» Гомера, причём астероиды в точке L₄ получают имена греков, а в точке L₅ — защитников Трои; поэтому их теперь так и называют «греками» (или «ахейцами») и «троянцами».

Расстояния от центра масс системы до этих точек в координатной системе с центром координат в центре масс системы рассчитываются по следующим формулам:

${\displaystyle r_{4}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)}$

${\displaystyle r_{5}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,-{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)}$

где

${\displaystyle \beta ={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$,

R — расстояние между телами,

M₁ — масса более массивного тела,

M₂ — масса второго тела.

Расположение точек Лагранжа в системе Солнце — Земля

L₁=(1,48104*10¹¹, 0)

L₂=(1,51092*10¹¹, 0)

L₃=(-1,49598*10¹¹, 0)

L₄=(7,47985*10¹⁰, 1,29556*10¹¹)

L₅=(7,47985*10¹⁰, −1,29556*10¹¹)

• В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L₄ обнаружен астероид 2010 TK₇[14], а в 2020 году — 2020 XL₅[15]. В L₅ пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли.
• По некоторым наблюдениям, в точках L₄ и L₅ системы Земля — Луна находятся очень разрежённые скопления межпланетной пыли — облака Кордылевского.
• В системе Солнце — Юпитер в окрестностях точек L₄ и L₅ находятся так называемые троянские астероиды. По состоянию на 21 октября 2010 известно около четырёх с половиной тысяч астероидов в точках L₄ и L₅[16].
• Троянские астероиды в точках L₄ и L₅ есть не только у Юпитера, но и у других планет-гигантов[17].
• Другим интересным примером является спутник Сатурна Тефия, в точках L₄ и L₅ которой находятся два небольших спутника — Телесто и Калипсо. Ещё одна пара спутников известна в системе Сатурн — Диона: Елена в точке L₄ и Полидевк в точке L₅. Тефия и Диона в сотни раз массивнее своих «подопечных», и гораздо легче Сатурна, что делает систему стабильной.
• Один из сценариев модели ударного формирования Луны предполагает, что гипотетическая протопланета (планетезималь) Тейя, в результате столкновения которой с Землёй образовалась Луна, сформировалась в точке Лагранжа L₄ или L₅ системы Солнце — Земля[18].
• Первоначально считалось, что в системе Kepler-223 две из четырёх планет обращаются вокруг своего солнца по одной орбите на расстоянии 60 градусов[19]. Однако дальнейшие исследования показали, что данная система не содержит коорбитальных планет[20].