Горизонтальная система координат

Горизонтальная система координат всегда топоцентрическая. Наблюдатель всегда находится в фиксированной точке на поверхности земли (отмечена буквой O на рисунке). Будем предполагать, что наблюдатель находится в Северном полушарии Земли на широте φ. При помощи отвеса определяется направление на зенит (Z), как верхняя точка, в которую направлен отвес, а надир (Z') — как нижняя (под Землёй)[1]^:38. Поэтому и линия (ZZ'), соединяющая зенит и надир называется отвесной линией[3]^:12.

Плоскость, перпендикулярная к отвесной линии в точке O называется плоскостью математического горизонта. На этой плоскости определяется направление на юг (географический, не магнитный!) и север, например, по направлению кратчайшей за день тени от гномона. Кратчайшей она будет в истинный полдень, и линия (NS), соединяющая юг с севером, называется полуденной линией[1]^:39. Точки востока (E) и запада (W) берутся отстоящими на 90 градусов от точки юга соответственно против и по ходу часовой стрелки, если смотреть из зенита. Таким образом, NESW — плоскость математического горизонта.

Плоскость, проходящая через полуденную и отвесную линии (ZNZ'S) называется плоскостью небесного меридиана, а плоскость, проходящая через небесное тело — плоскостью вертикала данного небесного тела. Большой круг, по которому она пересекает небесную сферу, называется вертикалом небесного тела[1]^:40.

В горизонтальной системе координат одной координатой является либо высота светила h, либо его зенитное расстояние z. Другой координатой является азимут A.

Высотой h светила называется дуга вертикала светила от плоскости математического горизонта до направления на светило. Высоты отсчитываются в пределах от 0° до +90° к зениту и от 0° до −90° к надиру[1]^:40.

Зенитным расстоянием z светила называется дуга вертикала светила от зенита до светила. Зенитные расстояния отсчитываются в пределах от 0° до 180° от зенита к надиру.

Азимутом A светила называется дуга математического горизонта от точки юга до вертикала светила. Азимуты отсчитываются в сторону суточного вращения небесной сферы, то есть к западу от точки юга, в пределах от 0° до 360°[1]^:41. Иногда азимуты отсчитываются от 0° до +180° к западу и от 0° до −180° к востоку. (В геодезии и навигации азимуты отсчитываются от точки севера[4].)

За сутки звезда (а также в первом приближении — тело Солнечной системы) описывает круг, перпендикулярный оси мира (PP'), которая на широте φ наклонена к математическому горизонту на угол φ. Поэтому она будет двигаться параллельно математическому горизонту лишь при φ равном 90 градусов, то есть на Северном полюсе. Поэтому все звёзды, видимые там, будут незаходящими (в том числе и Солнце на протяжении полугода, см. долгота дня) а их высота h будет постоянной. На других широтах доступные для наблюдений в данное время года звёзды делятся на

• заходящие и восходящие[3]^:16 (h в течение суток проходит через 0)
• незаходящие[3]^:16 (h всегда больше 0)
• невосходящие[3]^:16 (h всегда меньше 0)

Максимальная высота h звезды будет наблюдаться раз в день при одном из двух её прохождений через небесный меридиан — верхней кульминации, а минимальная — при втором из них — нижней кульминации. От нижней до верхней кульминации высота h звезды увеличивается, от верхней до нижней — уменьшается.

В дополнение к плоскости горизонта NESW, отвесной линии ZZ' и оси мира PP' начертим небесный экватор, перпендикулярный к PP' в точке O. Обозначим t — часовой угол светила, δ — его склонение, R — само светило, z — его зенитное расстояние. Тогда горизонтальную и первую экваториальную систему координат свяжет сферический треугольник PZR, называемый первым астрономическим треугольником[1]^:68, или параллактическим треугольником[2]^:36. Формулы перехода от горизонтальной системы координат к первой экваториальной системе координат имеют следующий вид[5]^:18:

${\displaystyle \sin(\delta )=\sin(\varphi )\cdot \cos(z)-\cos(\varphi )\cdot \sin(z)\cdot \cos(A)}$

${\displaystyle \cos(\delta )\cdot \sin(t)=\sin(z)\cdot \sin(A)}$

${\displaystyle \cos(\delta )\cdot \cos(t)=\cos(\varphi )\cdot \cos(z)+\sin(\varphi )\cdot \sin(z)\cos(A)}$

Вывод формул перехода

Первый астрономический треугольник, горизонтальная и первая экваториальная системы координат.

Последовательность применения формул сферической тригонометрии к сферическому треугольнику PZR такая же, как при выводе подобных формул для эклиптической системы координат: теорема косинусов, теорема синусов и формула пяти элементов[2]^:37. По теореме косинусов имеем:

${\displaystyle \cos(90^{\circ }-\delta )=\cos(z)\cdot \cos(90^{\circ }-\varphi )+\sin(z)\cdot \sin(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos(180^{\circ }-A)}$

${\displaystyle \sin(\delta )=\sin(\varphi )\cdot \cos(z)-\cos(\varphi )\cdot \sin(z)\cdot \cos(A)}$

Первая формула получена. Теперь к тому же сферическому треугольнику применяем теорему синусов:

${\displaystyle {\frac {\sin(z)}{\sin(t)}}={\frac {\sin(90^{\circ }-\delta )}{\sin(180^{\circ }-A)}}}$

${\displaystyle \cos(\delta )\cdot \sin(t)=\sin(z)\cdot \sin(A)}$

Вторая формула получена. Теперь применяем к нашему сферическому треугольнику формулу пяти элементов:

${\displaystyle \sin(90^{\circ }-\delta )\cdot \cos(t)=\cos(z)\cdot \sin(90^{\circ }-\varphi )-\sin(z)\cdot \cos(90^{\circ }-\varphi )\cdot \cos(180^{\circ }-A)}$

${\displaystyle \cos(\delta )\cdot \cos(t)=\cos(\varphi )\cdot \cos(z)+\sin(\varphi )\cdot \sin(z)\cdot \cos(A)}$

Третья формула получена. Итак, все три формулы получены из рассмотрения одного сферического треугольника.

Формулы перехода от первой экваториальной системы координат к горизонтальной системе координат выводятся при рассмотрении того же сферического треугольника, применяя к нему те же формулы сферической тригонометрии, что и при обратном переходе[2]^:37. Они имеют следующий вид[5]^:17:

${\displaystyle \cos(z)=\sin(\varphi )\cdot \sin(\delta )+\cos(\varphi )\cdot \cos(\delta )\cos(t)}$

${\displaystyle \sin(A)\cdot \sin(z)=\cos(\delta )\cdot \sin(t)}$

${\displaystyle \cos(A)\cdot \sin(z)=-\cos(\varphi )\cdot \sin(\delta )+\sin(\varphi )\cdot \cos(\delta )\cdot \cos(t)}$