Геостационарная орбита

На геостационарной орбите спутник не приближается к Земле и не удаляется от неё, и кроме того, вращаясь вместе с Землёй, постоянно находится над какой-либо точкой на экваторе. Следовательно, действующие на спутник силы гравитации и центробежная сила должны уравновешивать друг друга. Для вычисления высоты геостационарной орбиты можно воспользоваться методами классической механики и, перейдя в систему отсчета спутника, исходить из следующего уравнения:

${\displaystyle F_{u}=F_{\Gamma }}$,

где ${\displaystyle F_{u}}$ — сила инерции, а в данном случае, центробежная сила; ${\displaystyle F_{\Gamma }}$ — гравитационная сила. Величину гравитационной силы, действующую на спутник, можно определить по закону всемирного тяготения Ньютона:

${\displaystyle F_{\Gamma }=G\cdot {\frac {M_{3}\cdot m_{c}}{R^{2}}}}$,

где ${\displaystyle m_{c}}$ — масса спутника, ${\displaystyle M_{3}}$ — масса Земли в килограммах, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, а ${\displaystyle R}$ — расстояние в метрах от спутника до центра Земли или, в данном случае, радиус орбиты.

Величина центробежной силы равна:

${\displaystyle F_{u}=m_{c}\cdot a}$,

где ${\displaystyle a}$ — центростремительное ускорение, возникающее при круговом движении по орбите.

Как можно видеть, масса спутника ${\displaystyle m_{c}}$ присутствует как множитель в выражениях для центробежной силы и для гравитационной силы, то есть высота орбиты не зависит от массы спутника, что справедливо для любых орбит[5] и является следствием равенства гравитационной и инертной массы. Следовательно, геостационарная орбита определяется лишь высотой, при которой центробежная сила будет равна по модулю и противоположна по направлению гравитационной силе, создаваемой притяжением Земли на данной высоте.

Центростремительное ускорение равно:

${\displaystyle a=\omega ^{2}\cdot R}$,

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая скорость вращения спутника, в радианах в секунду.

Сделаем одно важное уточнение. В действительности, центростремительное ускорение имеет физический смысл только в инерциальной системе отсчета, в то время как центробежная сила является так называемой мнимой силой и имеет место исключительно в системах отсчета (координат), которые связаны с вращающимися телами. Центростремительная сила (в данном случае — сила гравитации) вызывает центростремительное ускорение. По модулю центростремительное ускорение в инерциальной системе отсчета равно центробежному в системе отсчета, связанной в нашем случае со спутником. Поэтому далее, с учётом сделанного замечания, мы можем употреблять термин «центростремительное ускорение» вместе с термином «центробежная сила».

Уравнивая выражения для гравитационной и центробежной сил с подстановкой центростремительного ускорения, получаем:

${\displaystyle m_{c}\cdot \omega ^{2}\cdot R=G\cdot {\frac {M_{3}\cdot m_{c}}{R^{2}}}}$.

Сокращая ${\displaystyle m_{c}}$, переводя ${\displaystyle R^{2}}$ влево, а ${\displaystyle \omega ^{2}}$ вправо, получаем:

${\displaystyle R^{3}=G\cdot {\frac {M_{3}}{\omega ^{2}}}}$

или

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{\frac {G\cdot M_{3}}{\omega ^{2}}}}}$.

Можно записать это выражение иначе, заменив ${\displaystyle G\cdot M_{3}}$ на ${\displaystyle \mu }$ — геоцентрическую гравитационную постоянную:

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{\omega ^{2}}}}}$

Угловая скорость ${\displaystyle \omega }$ вычисляется делением угла, пройденного за один оборот (${\displaystyle 360^{\circ }=2\cdot \pi }$ радиан) на период обращения (время, за которое совершается один полный оборот по орбите: один сидерический день, или 86 164 секунды). Получаем:

${\displaystyle \omega ={\frac {2\cdot \pi }{86164}}=7,29\cdot 10^{-5}}$ рад/с

Полученный радиус орбиты составляет 42 164 км. Вычитая экваториальный радиус Земли, 6 378 км, получаем высоту 35 786 км.

Можно сделать вычисления и иначе. Высота геостационарной орбиты — это такое удаление от центра Земли, где угловая скорость спутника, совпадающая с угловой скоростью вращения Земли, порождает орбитальную (линейную) скорость, равную первой космической скорости (для обеспечения круговой орбиты) на данной высоте.

Линейная скорость спутника, движущегося с угловой скоростью ${\displaystyle \omega }$ на расстоянии ${\displaystyle R}$ от центра вращения равна

${\displaystyle v_{l}=\omega \cdot R}$

Первая космическая скорость на расстоянии ${\displaystyle R}$ от объекта массой ${\displaystyle M}$ равна

${\displaystyle v_{k}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}};}$

Приравняв правые части уравнений друг к другу, приходим к полученному ранее выражению радиуса ГСО:

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{G{\frac {M}{\omega ^{2}}}}}}$

Скорость движения по геостационарной орбите вычисляется умножением угловой скорости на радиус орбиты:

${\displaystyle v=\omega \cdot R=3{,}07}$ км/с

Это примерно в 2,5 раза меньше, чем первая космическая скорость, равная 8 км/с на околоземной орбите (с радиусом 6400 км). Так как квадрат скорости для круговой орбиты обратно пропорционален её радиусу,

${\displaystyle v={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}};}$

то уменьшение скорости по отношению к первой космической достигается увеличением радиуса орбиты более чем в 6 раз.

${\displaystyle R\approx \,\!{6400\cdot \left({\frac {8}{3{,}07}}\right)^{2}}\approx \,\!43000}$

Длина геостационарной орбиты: ${\displaystyle {2\cdot \pi \cdot R}}$. При радиусе орбиты 42 164 км получаем длину орбиты 264 924 км.

Длина орбиты крайне важна для вычисления «точек стояния» спутников.

Связь через геостационарные спутники характеризуется большими задержками в распространении сигнала. При высоте орбиты 35 786 км и скорости света около 300 000 км/с ход луча «Земля — спутник» требует около 0,12 с, ход луча «Земля (передатчик) → спутник → Земля (приемник)» ≈0,24 с (то есть полная задержка (измеряемая утилитой Ping) при использовании спутниковой связи для приема и передачи данных составит почти полсекунды). С учётом задержки сигнала в аппаратуре ИСЗ, в аппаратуре и в кабельных системах передач наземных служб общая задержка сигнала на маршруте «источник сигнала → спутник → приёмник» может достигать 2—4 секунд[8]. Такая задержка затрудняет применение спутников на ГСО в телефонии и делает невозможной применение спутниковой связи с использованием ГСО в различных сервисах реального времени (например в онлайн-играх)[9].

Так как геостационарная орбита не видна с высоких широт (приблизительно от 81° до полюсов), а на широтах выше 75° наблюдается очень низко над горизонтом (в реальных условиях спутники просто скрываются выступающими объектами и рельефом местности) и виден лишь небольшой участок орбиты (см. таблицу), то в высокоширотных районах Крайнего Севера (Арктики) и Антарктиды невозможна связь и телетрансляция с использованием ГСО[10]. К примеру, американские полярники на станции Амундсен-Скотт для связи с внешним миром (телефония, интернет) используют оптоволоконный кабель длиной 1670 километров до расположенной на 75° ю. ш. французской станции Конкордия, с которой уже видно несколько американских геостационарных спутников[11].

Таблица наблюдаемого сектора геостационарной орбиты в зависимости от широты места
Все данные приведены в градусах и их долях.

Из таблицы видно, например, что если на широте Санкт-Петербурга (~60°) видимый сектор орбиты (и, соответственно, количество принимаемых спутников) равен 84 % от максимально возможного (на экваторе), то на широте полуострова Таймыр (~75°) видимый сектор составляет 49 %, а на широте Шпицбергена и мыса Челюскина (~78°) — лишь 16 % от наблюдаемого на экваторе. В этот сектор орбиты в районе Таймыра попадает 1 — 2 спутника (не всегда необходимого оператора).

Одним из самых неприятных недостатков геостационарной орбиты является уменьшение и полное отсутствие сигнала в ситуации, когда солнце и спутник находятся на одной линии с приёмной антенной (положение «солнце за спутником»). Данное явление присуще и другим орбитам, но именно на геостационарной, когда спутник «неподвижен» на небе, проявляется особенно ярко. В средних широтах северного полушария солнечная интерференция проявляется в периоды с 22 февраля по 11 марта и с 3 по 21 октября, с максимальной длительностью до десяти минут[13]. В такие моменты в ясную погоду солнечные лучи, сфокусированные светлым покрытием антенны могут даже повредить (расплавить или перегреть) приёмо-передающую аппаратуру спутниковой антенны[14].