Вторая космическая скорость

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

Запишем затем закон сохранения энергии[1][2]

${\displaystyle {\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-G{\frac {mM}{R}}=0,}$

${\displaystyle R=h+r}$

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния — энергия равна нулю). Здесь m — масса пробного тела, M — масса планеты, r — радиус планеты, h — длина от основания тела до его центра масс (высота над поверхностью планеты), G — гравитационная постоянная, v₂ — вторая космическая скорость.

Решая это уравнение относительно v₂, получим

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {2G{\frac {M}{R}}}}.}$

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {2}}v_{1}.}$

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке (например, на поверхности небесного тела):

${\displaystyle v_{2}^{2}=-2\Phi =2{\frac {GM}{R}}.}$

• Космическая скорость
• Первая космическая скорость
• Третья космическая скорость
• Четвёртая космическая скорость