Треугольник Кеплера

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением

Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

которое может быть записано в виде : , или приблизительно 1 : 1.272 : 1.618[1] Квадраты сторон этого треугольника (см. рисунок) составляют геометрическую прогрессию, соответствующую золотому сечению.

Треугольники с таким соотношением сторон были названы в честь немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571—1630), который первым продемонстрировал, что в таких треугольниках отношение длины короткого катета к гипотенузе равно золотому сечению[2]. Таким образом, треугольник Кеплера объединяет в себе два ключевых математических понятия — теорему Пифагора и золотое сечение, по поводу чего Кеплер отметил:

В геометрии существует два сокровища: одно из них — теорема Пифагора, другое — разделение линии в золотой пропорции. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе мы можем назвать драгоценным камнем. Иоганн Кеплер

— [3]

Некоторые источники утверждают, что соотношение сторон знаменитых пирамид в Гизе приближается к треугольнику Кеплера[4][5].

Следствие

Тот факт, что треугольник со сторонами , и образует прямоугольный треугольник, прямо следует из переписывания квадратного трёхчлена для золотого сечения :

в виде теоремы Пифагора:

Отношение к среднему арифметическому, среднему геометрическому и среднему гармоническому

Для положительных вещественных чисел а и b их среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое являются длинами сторон прямоугольного треугольника тогда и только тогда, когда треугольник является треугольником Кеплера[6].

Построение треугольника Кеплера
Метод построения треугольника Кеплера через золотое сечение.

Треугольник Кеплера может быть построен с помощью циркуля и линейки через построение золотого сечения следующим образом:

  1. Построить простой квадрат
  2. Провести линию от середины одной стороны квадрата к противоположному углу
  3. Использовать эту линию в качестве радиуса дуги, определяющей высоту прямоугольника
  4. Дополнить до золотого сечения
  5. Использовать длинную сторону прямоугольника золотого сечения в качестве радиуса дуги, которая, пересекая противоположную сторону прямоугольника, задаёт длину гипотенузы треугольника Кеплера.

Сам Кеплер строил этот треугольник по-другому. В письме к своему бывшему учителю, профессору Михаэлю Мёстлину, он писал: «Если на линии, которая разделена в крайнем и среднем отношении, построить прямоугольный треугольник таким образом, что прямой угол будет находиться в точке раздела, то меньшая сторона будет равняться большему сегменту разделенной линии.»[2].

Математическое совпадение

Возьмём треугольник Кеплера со сторонами и рассмотрим:

  • окружность, которая окружает его, и
  • квадрат со стороной, равной средней по величине стороне треугольника.

Тогда периметр квадрата () и длина окружности () совпадают с точностью до 0,1 %.

Это математическое совпадение . Эти квадрат и окружность не могут иметь одинаковую длину периметра, поскольку в этом случае можно было бы решить классическую неразрешимую задачу о квадратуре круга. Другими словами, поскольку  — трансцендентное число.

Примечания
  1. Roger Herz-Fischler. The Shape of the Great Pyramid (неопр.). — Wilfrid Laurier University Press, 2000. — ISBN 0-88920-324-5.
  2. Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number (англ.). — New York: Broadway Books, 2002. — P. 149. — ISBN 0-7679-0815-5.
  3. Karl Fink, Wooster Woodruff Beman, and David Eugene Smith. A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik (англ.). — 2nd ed.. — Chicago: Open Court Publishing Co, 1903.
  4. The Best of Astraea: 17 Articles on Science, History and Philosophy (англ.). — Astrea Web Radio, 2006. — ISBN 1-4259-7040-0.
  5. Squaring the circle, Paul Calter (недоступная ссылка). Дата обращения: 7 мая 2014. Архивировано 2 сентября 2011 года.
  6. Di Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means, " The Mathematical Gazette 89, 2005.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.