Математическое совпадение

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Факт объясним в терминах представления иррациональных значений непрерывными дробями, но почему эти невероятные совпадения случаются, часто остаётся неясным.

Часто используется рациональное приближение (непрерывными дробями) к отношению логарифмов различных чисел, что даёт (приближённое) совпадение степеней этих чисел[2].

• Первая подходящая дробь числа ${\displaystyle \pi }$, [3; 7] = 22/7 = 3,1428..., известна с времён Архимеда [3], и даёт точность около 0,04%. Третья подходящая дробь, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929..., которую нашёл Цзу Чунчжи [4], верна до шести десятичных знаков[3]. Эта высокая точность получается из-за того, что следующий член непрерывной дроби имеет необычно большое значение: ${\displaystyle \pi }$= [3; 7, 15, 1, 292, ...][5].
• Совпадение, в котором участвует ${\displaystyle \pi }$ и золотое сечение φ, задаётся формулой ${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}=3,1446\dots }$. Это соотношение связано с треугольником Кеплера. Некоторые исследователи считают, что это совпадение найдено в пирамидах Гизы, но крайне невероятно, что оно является преднамеренным[6].
• Существует последовательность шести девяток, которая начинается с 762-й позиции десятичного представления числа ${\displaystyle \pi }$. Для случайно выбранного нормального числа вероятность любой выбранной последовательности шести цифр (например, 658 020) встречается редко в десятичном представлении, только 0,08 %. Есть гипотеза, что ${\displaystyle \pi }$ является нормальным числом, но это не доказано.
• ${\displaystyle {\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}}$; верно с точностью до 0,002 %.

• Последовательность цифр 1828 повторяется дважды близко к началу десятичного представления числа e = 2,7 1828 1828.... [7]
• Существует последовательность цифр «99 999 999» среди первых 500.000 знаков числа e[8]

• Совпадение ${\displaystyle 2^{10}=1024\approx 1000=10^{3}}$ верно с точностью 2,4 %. Рациональное приближение ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3,3219\approx {\frac {10}{3}}}$, или ${\displaystyle 2\approx 10^{3/10}}$ совпадает с точностью до 0,3 %. Это совпадение используется в инженерных раcчетах для аппроксимации удвоенной мощности как 3 dB (фактическое значение равно 3,0103 dB – см. Точка половинной мощности), либо для перевода кибибайтов в килобайты [9][10].
• Это же совпадение можно переписать как ${\displaystyle 128=2^{7}\approx 5^{3}=125}$ (исключаем общий множитель ${\displaystyle 2^{3}}$, так что относительная погрешность остаётся той же самой, 2,4 %), что соответствует рациональному приближению ${\displaystyle \textstyle {\frac {\log 5}{\log 2}}\approx 2,3219\approx {\frac {7}{3}}}$, или ${\displaystyle 2\approx 5^{3/7}}$ (также в пределах 0,3 %). Это совпадение используется, например, для установки выдержки в камерах как приближение степеней двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500, и т.д.[2].

• Совпадение ${\displaystyle 2^{19}\approx 3^{12}}$, ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,5849\dots \approx {\frac {19}{12}}}$ обычно используется в музыке при настройке 7 полутонов равномерно темперированного строя в чистую квинту натурального строя: ${\displaystyle 2^{7/12}\approx 3/2;}$, что совпадает с точностью до 0,1%. Чистая квинта служит основой пифагорова строя и является наиболее распространённой системой в музыке. Из вытекающей аппроксимации${\displaystyle {(3/2)}^{12}\approx 2^{7}}$ следует, что квинтовый круг завершается на семь октав выше начала[2].
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \approx {\frac {4}{3}}}$ приводит к рациональной версии 12-TET ладов, как заметил Иоганн Кирнбергер.
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\ldots \approx 4}$ приводит к рациональной версии темперации среднетонового строя на 1/4 коммы.
• Совпадение ${\displaystyle {\sqrt[{9}]{0,6}}{\sqrt[{28}]{4,9}}=0,99999999754\ldots \approx 1}$ ведёт к очень маленькому интервалу ${\displaystyle 2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}}$ (около миллицента).
• Совпадение со степенью 2 (см. выше) приводит к тому, что три большие терции составляют октаву, ${\displaystyle {(5/4)}^{3}\approx {2/1}}$. Это и другие похожие приближения в музыке называются диесами.

• ${\displaystyle \pi ^{2}\approx 10;}$ с точностью около 1,3% [11] Это можно понять в терминах формулы дзета-функции ${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6.}$[12] Это совпадение использовалось при разработке логарифмических линеек, когда шкала начинается с ${\displaystyle \pi }$, а не с ${\displaystyle {\sqrt {10}},}$.
• ${\displaystyle \pi ^{2}\approx 227/23,}$ с точностью до 0,0004%.[11]
• ${\displaystyle \pi ^{3}\approx 31,}$ с точностью до 0,02%.
• ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\approx 2,}$ с точностью до 0,004%.
• ${\displaystyle \pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4},}$ или ${\displaystyle 22\pi ^{4}\approx 2143}$[13] с точностью до 8 десятичных знаков (согласно Рамануджану: Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, pp. 350–372). Рамануджан утверждает, что эта "любопытная аппроксимация" для ${\displaystyle \pi }$ была «получена эмпирически» и не имеет связи с теорией, которая развивалась в статье.

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3,1415926525\dots }$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{306}}=3,14155\dots }$

${\displaystyle {\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3,1415924\dots }$

${\displaystyle {\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7}}}=3,14159\dots }$

Некоторые правдоподобные связи выполняются с высокой степени точности, но тем не менее остаются совпадениями. Примером служит

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n}}\right)\mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}.}$

Две стороны этого выражения отличаются лишь в 42-ом десятичном знаке[14].

• ${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\approx e^{6}}$, с точностью 0,000 005%[13]
• ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi }}}}$ очень близко к 5, точность около 0,008%.
• ${\displaystyle {3}^{\frac {\pi +e}{4}}}$ очень близко к 5, точность около 0,000 538% (Joseph Clarke, 2015)
• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 19,99909998}$ очень близко к 20 (Конвей, Слоан, Плоуф, 1988). Это совпадение эквивалентно ${\displaystyle (\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \approx -1}$[13]
• ${\displaystyle \pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\ldots \approx 10}$[13]

• ${\displaystyle {163}\cdot (\pi -e)\approx 69}$, с точностью 0,0005%[13]
• ${\displaystyle {\frac {163}{\ln 163}}\approx 2^{5}}$, с точностью 0,000004%[13]
• Константа Рамануджана: ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744}$, точность ${\displaystyle 2,9\cdot 10^{-28}\%}$, открытая в 1859 Шарлем Эрмитом[15]. Эта очень близкая аппроксимация не является типичным случайным математическим совпадением, где неизвестно никакого математического объяснения. Это следствие факта, что 163 является числом Хигнера.

${\displaystyle \ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}}$ (точность 0,00024%).

• ${\displaystyle 10!=6!\cdot 7!=1!\cdot 3!\cdot 5!\cdot 7!}$.[16]
• ${\displaystyle \,2^{3}=8}$ и ${\displaystyle 3^{2}=9\,}$ являются единственными нетривиальными последовательными степенями положительных целых чисел (Гипотеза Каталана).
• ${\displaystyle \,4^{2}=2^{4}}$ является единственным целочисленным решением уравнения ${\displaystyle a^{b}=b^{a}}$, в предположении, что ${\displaystyle a\neq b}$[17] (см. формальный метод решения в статье W-функция Ламберта)
• Число Фибоначчи F₂₉₆₁₈₂ (вероятно) является полупростым числом, поскольку F₂₉₆₁₈₂ = F₁₄₈₀₉₁ × L₁₄₈₀₉₁, где F₁₄₈₀₉₁ (30949 знаков) и число Люка L₁₄₈₀₉₁ (30950 знаков) являются вероятно простыми.[18]
• В обсуждении парадокса дней рождения возникает число ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}}$, которое «забавно» равно ${\displaystyle \ln(2)}$ с точностью до 4 знаков[19].

• ${\displaystyle 2^{5}\cdot 9^{2}=2592}$. Т.е. 2592 является числом Фридмана.[20]
• ${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=3435}$.
• ${\displaystyle \,1!+4!+5!=145}$. Это факторион, и их только 4 (в десятичной системе) — 1, 2, 145, 40585.[21]
• ${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!\!\not 6}{\not 64}}={\frac {1}{4}}}$,    ${\displaystyle {\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!\!\not 6}{\not 65}}={\frac {2}{5}}}$,    ${\displaystyle {\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!\!\not 9}{\not 95}}={\frac {1}{5}}}$,    ${\displaystyle {\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!\!\not 9}{\not 98}}={\frac {4}{8}}}$ (Неправильные сокращения[22]). Кроме того, произведение этих четырёх дробей равно в точности 1/100.
• ${\displaystyle \,(4+9+1+3)^{3}=4{,}913}$; ${\displaystyle \,(5+8+3+2)^{3}=5{,}832}$; и ${\displaystyle \,(1+9+6+8+3)^{3}=19{,}683}$.[23]
• ${\displaystyle \,2^{7}-1=127}$. Можно переписать равенство ${\displaystyle \,127=-1+2^{7}}$, что делает 127 наименьшим числом Фридмана[20].
• ${\displaystyle \,1^{3}+5^{3}+3^{3}=153}$ ; ${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+0^{3}=370}$ ; ${\displaystyle \,3^{3}+7^{3}+1^{3}=371}$ ; ${\displaystyle \,4^{3}+0^{3}+7^{3}=407}$ —самовлюблённые числа[24]
• ${\displaystyle \,(3+4)^{3}=343}$[25]
• ${\displaystyle \,588^{2}+2353^{2}=5882353}$, а также ${\displaystyle 1/17=0,0588235294117647\ldots }$ при округлении до 8 знаков 0,05882353. Совпадение упомянул Гильберт Лабелле в ~1980. Кроме того, 5882353 является простым.
• ${\displaystyle \,2646798=2^{1}+6^{2}+4^{3}+6^{4}+7^{5}+9^{6}+8^{7}}$. Наибольшее такое число — 12157692622039623539.[26]
• ${\displaystyle \sin(666^{\circ })=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ })=-\varphi /2}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — золотое сечение[27] (удивительное равенство с углом, выраженным в градусах) (см. Число зверя)
• ${\displaystyle \,\phi (666)=6\cdot 6\cdot 6}$, где ${\displaystyle \phi }$ — функция Эйлера[27]

Число секунд в шести неделях, или 42 днях, равно в точности 10! (факториал) секунд (так как ${\displaystyle 24=4!}$, ${\displaystyle 42=6\cdot 7}$ и ${\displaystyle 60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10}$). Многие заметили это совпадение, в частности, число 42 имеет важное значение в романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».

Скорость света (по определению) равна в точности 299.792.458 м/с, очень близко к 300,000,000 м/с. Это чисто совпадение, поскольку метр был первоначально определён как 1/10.000.000 расстояния между земным полюсом и экватором на уровне моря, длина земной окружности получилась около 2/15 световой секунды[28].

Не являясь константной, а зависящей от широты и долготы, числовое значение ускорение свободного падения на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что достаточно близко к 10. Это означает, что в результате второго закона Ньютона вес килограмма массы на земной поверхности Земли соответствует примерно 10 ньютонам приложено на объект силы [29].

Это совпадение на самом деле связано с вышеупомянутым совпадением квадрата ${\displaystyle \pi }$ с 10. Одно из ранних определений метра — длина маятника, период колебания которого равна двум секундам. Поскольку период полного колебания примерно задаётся формулой ниже, после алгебраических выкладок, получим, что гравитационная постоянная равна квадрату ${\displaystyle \pi }$[30]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли очень близка 40,000,000 метрам, определение метра было изменено, чтобы отразить этот факт, поскольку это был более объективный стандарт (гравитационная постоянная на поверхности Земли не постоянна). Это привело к увеличению длины метра чуть меньше чем на 1 %, что попадало в пределы экспериментальных ошибок измерения.

Ещё одно совпадение — что величина g, равная примерно 9,8 м/с², равна 1,03 светового года/год², что близко к 1. Это совпадение связано с фактом, что g близко к 10 в системе единиц СИ (м/с²), как упоминалось выше, вместе с фактами, что число секунд в году близко к численному значению c/10, где c — скорость света в м/с.

Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}}$Гц:[28]

${\displaystyle {\underline {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}}$Гц ${\displaystyle =R_{\infty }c}$ [31].

${\displaystyle {\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}}$

Постоянная тонкой структуры ${\displaystyle \alpha }$ близка к ${\displaystyle {\frac {1}{137}}}$ и была гипотеза, что она в точности равна ${\displaystyle {\frac {1}{137}}}$.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{137,035999074\dots }}}$

Хотя это совпадение не столь строго, как некоторые выше, замечательно, что ${\displaystyle \alpha }$ является безразмерной константой, так что это совпадение не связано с используемой системой мер.