Пифагоров строй

Пифагоров строй — музыкальный строй, теорию которого связывают с пифагорейской школой гармоники. Со времён поздней Античности видные теоретики музыки (Никомах, Ямвлих, Боэций и другие) приписывали его непосредственно Пифагору.

Абстрактно-математическое представление о пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

В некоторых научных статьях именуется также «пифагорейским строем».

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например так (цепь из 6 квинт от звука фа):

FCGDAEH

или в виде диатонической гаммы:

CDEFGAHC
19/881/644/33/227/16243/1282
Целый тонЦелый тон ЛиммаЦелый тон Целый тонЦелый тон Лимма
8 : 98 : 9 243 : 2568 : 9 8 : 98 : 9 243 : 256
203,91 ц203,91 ц 90,22 ц203,91 ц 203,91 ц203,91 ц 90,22 ц

В западной музыке пифагорову строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы, опираясь на пифагоров строй, хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагоров является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)[1]. У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорова строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагоров строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).

Таблица интервалов пифагорова строя

В следующей таблице показаны интервалы пифагорова строя, не превосходящие октаву и получаемые не более чем 18 квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11 квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.

Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.

В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9 квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное

При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:

где целая часть числа [2].

Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях

.

Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: и , либо и , либо и (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на пифагорову комму). Для хроматических интервалов сверх того могут иметь место соотношения и , либо и , а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также и , либо и .

НазваниеQOTLKОтношениеВеличина
в центах
Ступень
от c
Дополнительные
примеры
унисон, прима000001:10,00c
Пифагорова комма
(ув. септима без октавы)[3]
12-7001531441:52428823,46Hisdes—cis, fes—e, a—gisis
дважды ум. терция-171001-1134217728:12914016366,76eseses[4]cis—eses, eis—ges
лимма, м. секунда,
меньший (диатонический) полутон
-53010256:24390,22dese—f, cis—d, des—eses
апотома, ув. прима,
больший (хроматический) полутон
7-40112187:2048113,69ciscis—cisis, des—d,
eses—es
ум. терция-10610-165536:59049180,45esescis—es, e—ges
целый тон, б. секунда2-11009:8203,91dd—e, e—fis, B—c,
des—es, cis—dis
дважды ув. прима14-81014782969:4194304227,37cisisces—cis, deses—d
дважды ум. кварта-15911-116777216:14348907270,67fesescis—fes, fis-b, cisis—f
полудитон, м. терция-3211032:27294,13esd—f, es—ges
ув. секунда9-511119683:16384317,60disdes—e, es—fis
ум. кварта-8520-18192:6561384,36fescis—f, fis—b, dis—ges
дитон, б. терция4-220081:64407,82ed—fis, eis-gisis
дважды ув. секунда16-920143046721:33554432431,28disisces—dis, es—fisis
дважды ум. квинта-13821-12097152:1594323474,58gesescis—ges, disis—a
кварта-112104:3498,04fd—g, ces—fes
ув. терция11-6211177147:131072521,51eisdes—fis, deses—f
дважды ум. секста-181130-2536870912:387420489564,81aseses[4]cisis—as, cis—ases
ум. квинта
(комматический тритон[5])
-6430-11024:729588,27gescis—g, H—f, e—b
тритон, ув. кварта6-3300729:512611,73fisf—b, des—g
дважды ув. терция18-10301387420489:268435456635,19eisisdes—fisis, eses—gis
ум. секста
(волчья квинта пифагорова строя)
-11731-1262144:177147678,49asescis—as, Gis—es
квинта103103:2701,96gd—a, dis—ais
дважды ув. кварта13-73111594323:1048576725,42fisisdes—gis, deses—a
дважды ум. септима-161040-267108864:43046721768,72heseses[4]cis—heses, cisis—b
м. секста-4340-1128:81792,18asd—b, dis-h
ув. квинта (тетратон)8-44006561:4096815,64gisdes—a, eses—b
ум. септима-9641-132768:19683882,40hesescis—b, Gis—f
б. секста3-141027:16905,87ad—h, Es—c
дважды ув. квинта15-841114348907:8388608929,33gisisdes—ais, deses—a
дважды ум. октава-14950-28388608:4782969972,63ceses1Dis—des, Disis—d
м. септима-2250-116:9996,09bG—f, Des—ces
ув. секста (пентатон)10-550059049:327681019,55aisdes—h, deses—b
ум. октава-7551-14096:21871086,31ces1Cis—c, Des—deses
б. септима5-2510243:1281109,78hcis—his
дважды ув. секста17-9511129140163:671088641133,24aisisces—ais, Eses—cis
ум. нона-12860-21048576:5314411176,54deses1Dis—es, Eis—f
октава0160-12:11200,00c1

См.также

Ссылки

Примечания

  1. Натуральные интервалы, или интервалы натурального звукоряда, между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м обертонами обозначены соотношениями 1:2 и 2:3 соответственно.
  2. Указанная формула получается логарифмированием неравенства , однозначно определяющего зависимость величины O от величины Q.
  3. Увеличенная септима пифагорова строя (например, chis) шире октавы (cc1) на пифагорову комму.
  4. Орфография буквенного обозначения ступени, отстоящей от с на данный интервал (дважды уменьшенная терция, секста или септима) требует указания «тройного бемоля» (-eseses), обозначающего понижение соответствующей диатонической ступени (в данном случае соответственно e, a и h) на три хроматических полутона; примеры тех же интервалов между другими ступенями, не требующими «тройных знаков альтерации», см. в колонке «Дополнительные примеры».
  5. То есть тритон, уменьшенный на (пифагорову) комму.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.