Центростремительное ускорение

Нормальное ускорение ${\displaystyle a_{n}}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}}$

или (с использованием соотношения ${\displaystyle v=\omega R}$)

${\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R}$,

где ${\displaystyle v}$ — (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ${\displaystyle \omega }$ — (мгновенная) угловая скорость движения относительно центра кривизны траектории, ${\displaystyle R}$ — радиус кривизны траектории в данной точке.

Выражения могут быть переписаны в векторном виде:

${\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} =\omega ^{2}R\mathbf {n} }$.

Здесь ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор, направленный от данной точки траектории к центру кривизны траектории.

Эти формулы применимы как к частной ситуации равномерного движения (${\displaystyle |{\vec {v}}|=\,}$const), так и к произвольному случаю. В равномерном случае нормальное ускорение совпадает с полным. В общем же случае нормальное ускорение — это лишь компонента вектора ${\displaystyle {\vec {a}}}$, перпендикулярная траектории движения (вектору ${\displaystyle {\vec {v}}}$), а в полный вектор ускорения входит ещё и тангенциальная составляющая ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt}$, сонаправленная касательной к траектории движения[1].

Для разложения ускорения на тангенциальное и нормальное можно продифференцировать по времени вектор скорости, представленный в виде ${\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau } }$ через единичный вектор касательной ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}=\mathbf {a} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}{\frac {dl}{dt}}=\mathbf {a} _{\tau }+v^{2}{\frac {d\mathbf {\tau } }{dl}}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}{\frac {d\mathbf {\tau } }{d\varphi }}=\mathbf {a} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\,\mathbf {n} }$.

Здесь первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение. Через ${\displaystyle \mathbf {n} }$ обозначен единичный вектор нормали, ${\displaystyle R}$ — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке, ${\displaystyle dl}$ — элемент длины траектории. Малый участок любой кривой может считаться дугой окружности, причём её радиус и есть радиус кривизны ${\displaystyle R}$. В цепочке преобразований использованы очевидные соотношения ${\displaystyle dl/dt=v}$ и ${\displaystyle dl=R\,d\varphi }$ (где ${\displaystyle d\varphi }$ — малый угол поворота вокруг центра кривизны).

Равенство ${\displaystyle d\mathbf {\tau } /d\varphi =\mathbf {n} }$ вытекает из геометрических соображений. Разность ${\displaystyle \Delta \mathbf {\tau } =\mathbf {\tau } '-\mathbf {\tau } }$ единичных касательных векторов в рассматриваемой (${\displaystyle \mathbf {\tau } }$) и близкой к ней (${\displaystyle \mathbf {\tau } '}$) точках траектории составляет по величине ${\displaystyle 2\sin(\Delta \varphi /2)}$, где ${\displaystyle \Delta \varphi }$ — угол между ${\displaystyle \mathbf {\tau } '}$ и ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$. Эта разность направлена под углом ${\displaystyle \Delta \varphi /2}$ к нормали ${\displaystyle \mathbf {n} }$ в рассматриваемой точке. При малости ${\displaystyle \Delta \varphi }$ будет совпадение с вектором нормали ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Также при малости ${\displaystyle \Delta \varphi }$ возможно разложении синуса в ряд Тейлора. В результате придём к ${\displaystyle \Delta \mathbf {\tau } =\Delta \varphi \,\mathbf {n} }$ или, для бесконечно малых, ${\displaystyle d\mathbf {\tau } /d\varphi =d\varphi /d\varphi \,\mathbf {n} }$.

Вычисление радиуса кривизны и координат центра кривизны траектории является математической задачей (см. Кривизна). Если кривая задана уравнением ${\displaystyle y=f(x)}$, то радиус её кривизны в точке (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) находится как[2]

${\displaystyle R={\frac {(1+f'^{2})^{3/2}}{|f''|}}}$,

а положение центра кривизны — по формулам[2]

${\displaystyle \xi =x-{\frac {f'(1+f'^{2})}{f''}},\qquad \eta =y+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$.

Единичный вектор нормали в таком случае составит (${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — орты)

${\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\xi -x}{R}}\,{\vec {i}}+{\frac {\eta -y}{R}}\,{\vec {j}}}$.

Если известна зависимость радиус-вектора материальной точки от времени ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ (с математической точки зрения это означает задание траектории в параметрическом виде), то радиус кривизны можно найти через ускорение:

${\displaystyle R={\frac {v^{2}}{\sqrt {a^{2}-a_{\tau }^{2}}}}}$,

где ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ и ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt}$; предварительно находится скорость как ${\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt}$. Центр кривизны в общем случае не будет совпадать с началом отсчёта радиус-вектора.

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательной к траектории (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ей (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Крайне важен также частный случай движения по окружности.

Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс. Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач.

Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.

• Тангенциальное ускорение
• Кривизна кривой
• Центробежная сила