4-ток

4-ток, четырёхток в специальной и общей теории относительности — лоренц-ковариантный четырёхвектор, который объединяет плотность тока электрических зарядов (или 3-вектор плотности тока любых других частиц) и объёмную плотность заряда (или объёмную концентрацию частиц).

${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\;\mathbf {j} \right),}$

где

${\displaystyle c}$ — скорость света,

${\displaystyle \rho }$ — скалярная плотность заряда,

${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \,\mathbf {u} }$ — 3-вектор плотности тока,

${\displaystyle \mathbf {u} }$ — 3-вектор скорости зарядов.

В специальной теории относительности локальное сохранение электрического заряда выражается уравнением непрерывности, которое означает равенство нулю инвариантной дивергенции 4-тока:

${\displaystyle D\cdot J=\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$

где ${\displaystyle D}$ — 4-векторный оператор, называемый 4-градиентом и определяемый как ${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\;\mathbf {\nabla } \right)}$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам. Вышеприведённое уравнение можно короче записать как

${\displaystyle J^{\mu }{}_{,\mu }=0}$

с обычным обозначением частной производной по данной координате как запятой перед соответствующим индексом.

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается так:

${\displaystyle J^{\mu }{}_{;\mu }=0\,,}$

где точка с запятой перед индексом означает ковариантную производную по соответствующей координате.