Уравнение Паули

Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году. Не путать с основным кинетическим уравнением, также иногда называемым уравнением Паули.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы ${\displaystyle \psi (r,t)}$ (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:

${\displaystyle \psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.}$

При поворотах координатных осей ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$ преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение ${\displaystyle \psi }$ и ${\displaystyle \psi '}$ имеет вид

${\displaystyle (\psi ',\psi )=\int (\psi '_{1}\psi _{1}+\psi '_{2}\psi _{2})dr,}$

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом ${\displaystyle {\vec {s}}}$ обладает и магнитным моментом, пропорциональным ${\displaystyle {\vec {s}}}$: ${\displaystyle {\vec {\mu }}=g{\vec {s}}}$ (g — гиромагнитное отношение). Для орбитального момента ${\displaystyle g={e \over 2mc}}$, где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: ${\displaystyle g={e \over mc}}$. Во внешнем магнитном поле напряжённости ${\displaystyle {\vec {B}}}$ магнитный момент обладает потенциальной энергией ${\displaystyle U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}}$, добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами ${\displaystyle \phi }$ и A приводит к уравнению Паули:

${\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H}}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p}}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\sigma }}{\vec {B}})\right]\psi }$

где ${\displaystyle {\hat {p}}}$ — оператор импульса, ${\displaystyle {\hat {I}}}$ — единичный оператор, а ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ пропорционален оператору спина: ${\displaystyle {\hat {s}}={\hbar \over 2}{\hat {\sigma }}}$.

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид ${\displaystyle \psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)}$, где ${\displaystyle \Phi (r,t)}$ — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор ${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\end{pmatrix}}}$ удовлетворяет уравнению

${\displaystyle i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B}})\chi .}$

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина ${\displaystyle \langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )}$ прецессирует вокруг направления магнитного поля:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].}$

Здесь ${\displaystyle \omega _{B}={eB \over mc}}$ — циклотронная частота, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.