Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее уравнение, управляющее уравнение, уравнение кинетического баланса. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).

Для процесса, не зависящего от прошлого системы (марковский процесс), основное кинетическое уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {dP_{n}}{dt}}=\sum _{m\neq n}\left(w_{nm}\cdot P_{m}-w_{mn}\cdot P_{n}\right)}$.

где

• ${\displaystyle P_{m}=\rho _{mm}}$ и ${\displaystyle P_{n}=\rho _{nn}}$ — вероятности того, что система находится в состояниях ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности ${\displaystyle \rho }$;
• ${\displaystyle w_{mn}=\mathrm {prob} (n\rightarrow m)}$ — вероятность перехода системы из состояния ${\displaystyle n}$ в состояние ${\displaystyle m}$ в единицу времени (скорость изменения вероятности);
• ${\displaystyle w_{nm}=\mathrm {prob} (m\rightarrow n)}$ — вероятность обратного перехода системы из состояния ${\displaystyle m}$ в состояние ${\displaystyle n}$ в единицу времени (скорость изменения вероятности).

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {dP_{n}(t)}{dt}}=\int \limits _{-\infty }^{t}\sum _{m}\left(w_{nm}(t-\tau )\cdot P_{m}(\tau )-w_{mn}(t-\tau )\cdot P_{n}(\tau )\right)\,d\tau }$,

где

• ${\displaystyle w_{mn}(t-\tau )}$ — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной ${\displaystyle x}$, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности ${\displaystyle W(x,t)}$:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,t)}{\partial t}}=\int \left(w(x,x^{\prime })\cdot W(x^{\prime },t)-w(x^{\prime },x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^{\prime }}$

где

• ${\displaystyle w(x,x^{\prime })}$ — плотность вероятности перехода ${\displaystyle x^{\prime }\rightarrow x}$ в единицу времени.

Примеры основных уравнений:

• уравнение Линдблада
• уравнение Фоккера — Планка
• уравнение Больцмана