Симметричный тензор

Для любого тензора U, с компонентами ${\displaystyle U_{ij\dots }}$, можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

${\displaystyle U_{(ij)\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ij\dots }+U_{ji\dots })}$ (симметричная часть),

${\displaystyle U_{[ij]\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ij\dots }-U_{ji\dots })}$ (антисимметричная часть).

Термин «часть» означает, что ${\displaystyle U_{ij\dots }=U_{(ij)\dots }+U_{[ij]\dots }}$

Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию:

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}\ }$,

обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом ${\displaystyle \operatorname {Sym} }$:

${\displaystyle (\operatorname {Sym} \,T)_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}\ }$.

Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.

• Ранга 0 — скаляр (любой),
• Ранга 1 — вектор/ковектор (любой),
• Ранга 2:
  • симметричная матрица,
  • (ковариантный) — квадратичная форма.
• Произвольного ранга n — тензорная степень n любого вектора/ковектора (лишь одна из возможностей).

Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.

Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным n-линейным функционалом, то есть его «коэффициентом» является абсолютно симметричный тензор ранга n.

В квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$ и аналогично для большего числа переменных.