Теорема вращения Эйлера

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.

Для заданного угла ${\displaystyle \varphi }$ и единичного вектора ${\displaystyle n}$ обозначим ${\displaystyle R(\varphi ,n)}$ вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол ${\displaystyle \varphi }$. Тогда:

• ${\displaystyle R(0,n)}$ — тождественное отображение для любого ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle R(\varphi ,n)=R(-\varphi ,-n)}$
• ${\displaystyle R(\pi +\varphi ,n)=R(\pi -\varphi ,-n)}$

Для любого вращения существует единственный угол ${\displaystyle \varphi }$, для которого ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }$, при этом:

• ${\displaystyle n}$ определяется однозначно, если ${\displaystyle 0<\varphi <\pi }$;
• ${\displaystyle n}$ любое, ${\displaystyle \varphi =0}$;
• ${\displaystyle n}$ определяется однозначно с точностью до знака, если ${\displaystyle \varphi =\pi }$ (то есть, вращения ${\displaystyle R(\varphi ,\pm n)}$ одинаковы).