Список моментов инерции

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину². Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений^{[уточнить]}, который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m	$I=mr^{2}$ [1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r₁=r₂. Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r₁, внешнего радиуса r₂, длиной h и массой m	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}\right)$ [1][2] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ или при определении нормированной толщины t_n = t/r и полагая r = r₂, тогда $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	При плотности ρ и той же геометрии: $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}$ [1] $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Это частный случай предыдущего объекта при r₁=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}$	Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m	$I_{z}=mr^{2}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}$	Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r₁=r₂ и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m	$I={\frac {2mr^{2}}{5}}$ [1]	Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m	$I={\frac {2mr^{2}}{3}}$ [1]	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m	$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}$	—
Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m	$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}$ [3] $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)$ [3]	—
Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m	$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра $s$ , $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}$ .
Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.	$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+W^{2}L^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Для куба с длиной ребра $s$ , $I={\frac {ms^{2}}{6}}$ .
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m	$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}$ [1]	—
Стержень длины L и массы m	$I_{\mathrm {center} }={\frac {mL^{2}}{12}}$ [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m (Ось вращения в конце пластины)	$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}$	—
Стержень длины L и массы m (Ось вращения на конце стержня)	$I_{\mathrm {end} }={\frac {mL^{2}}{3}}$ [1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0.
Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.	Ось вращения относительно диаметра: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ [4] Ось вращения относительно вертикальной оси: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$ [4]	—
Плоскость многоугольника с вершинами ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ и массой $m$ , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.	$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|}}$	—
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам (т.е. $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ где: $\rho (x,y)$ — плотность масс как функция x и y).	$I=m(a^{2}+b^{2})$
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга	$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	$\mu$ — приведённая масса.

См. также

Теорема Штейнера

Примечания

Raymond A. Serway. Physics for Scientists and Engineers, second ed (англ.). — Saunders College Publishing, 1986. — P. 202. — ISBN 0-03-004534-7.
Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com.
Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr. Vector Mechanics for Engineers, fourth ed (англ.). — McGraw-Hill Education, 1984. — P. 911. — ISBN 0-07-004389-2.
Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring (неопр.). Wolfram Research. Архивировано 28 июля 2012 года.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[serway-1] Raymond A. Serway. Physics for Scientists and Engineers, second ed (англ.). — Saunders College Publishing, 1986. — P. 202. — ISBN 0-03-004534-7.

[2] Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder. LivePhysics.com.

[beer-3] Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr. Vector Mechanics for Engineers, fourth ed (англ.). — McGraw-Hill Education, 1984. — P. 911. — ISBN 0-07-004389-2.

[weisstein_torus-4] Eric W. Weisstein. Moment of Inertia — Ring (неопр.). Wolfram Research. Архивировано 28 июля 2012 года.