Теорема Гюйгенса — Штейнера

Будем рассматривать абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек[2].

По определению момента инерции для ${\displaystyle J_{C}}$ и ${\displaystyle J}$ можно записать

${\displaystyle J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},}$

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ — радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор ${\displaystyle \mathbf {r'} _{i}}$ можно расписать как сумму двух векторов:

${\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {d} }$ — радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.}$

Вынося ${\displaystyle \mathbf {d} }$ за сумму, получим

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.}$

По определению центра масс, для его радиус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} _{c}}$ выполняется

${\displaystyle \mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}}.}$

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}$.

Тогда

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},}$

откуда и следует искомая формула:

${\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}$

где ${\displaystyle J_{C}}$ — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие. Из полученной формулы очевидно, что ${\displaystyle J\geq J_{C}}$. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню (назовём её осью ${\displaystyle C}$) равен

${\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}$

Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

${\displaystyle J=J_{C}+md^{2},}$

где ${\displaystyle d}$ — расстояние между этой осью и осью ${\displaystyle C}$. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти, положив в последней формуле ${\displaystyle d=L/2}$:

${\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}$

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор ${\displaystyle {\hat {J}}_{ij}}$ относительно произвольной точки из тензора ${\displaystyle {\hat {I}}_{ij}}$ относительно центра масс. Пусть ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — смещение от центра масс, тогда

${\displaystyle {\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}$

где

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ — вектор смещения от центра масс, а ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при ${\displaystyle i=j}$) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

• Момент инерции
• Список моментов инерции