Интегральное уравнение Вольтерры

Интегра́льное уравне́ние Вольте́рры (распространено также написание интегральное уравнение Вольтерра́[1]) — специальный тип интегральных уравнений. Предложены итальянским математиком Вито Вольте́ррой, а затем изучались Траяном Лалеску в работе Sur les équations de Volterra, написанной в 1908 году под руководством Эмиля Пикара. В 1911 году Лалеску написал первую книгу об интегральных уравнениях. Уравнения находят применение в демографии, изучении вязко-упругих материалов, в страховой математике через уравнение восстановления.

Данные уравнения делятся на два типа.

Линейное уравнение Вольтерры первого рода:

f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds

,

где $f$ — заданная функция, $x$ — неизвестная функция.

Линейное уравнение Вольтерры второго рода:

x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds

.

В теории операторов и в теории Фредгольма соответствующие уравнения называются оператором Вольтерры.

Функция $K$ в интеграле часто называется ядром. Такие уравнения могут быть проанализированы и решены с помощью метода Лапласа.

Уравнения с однородным ядром

Первого рода

f(t)=\int _{0}^{t}K(t-s)\,x(s)\,ds

Решение основано на преобразовании Лапласа. Производя преобразование Лапласа обеих частей уравнения и обозначая его тильдой:

{\tilde {f}}(p)={\tilde {K}}(p){\tilde {x}}(p)

Таким образом,

{\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(p)}}

Если при $t\to 0$ функции $K(t),f(t)$ стремятся к $K_{0},f_{0}$ соответственно, то при больших $p$ функция ${\tilde {x}}\to f_{0}/K_{0}$ . Это означает наличие $\delta$ -функционного вклада, который следует вынести. Таким образом, решение имеет вид

x(t)={\frac {f_{0}}{K_{0}}}\delta (t)+\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{{\tilde {K}}(t)}}-{\frac {f_{0}}{K_{0}}}\right)

Второго рода

f(t)=x(t)+\int _{a}^{t}K(t-s)x(s)\,ds

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что

{\tilde {x}}(p)={\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(p)}}

Здесь уже случая неопределённости не возникает и

x(t)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {dp}{2\pi i}}e^{pt}\left({\frac {{\tilde {f}}(p)}{1+{\tilde {K}}(t)}}\right)

Примечания

Вержбицкий М. В. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Учебное пособие. — Directmedia, 2014. — С. 351. — 400 с. — ISBN 9785445838760.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Вержбицкий М. В. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения). Учебное пособие. — Directmedia, 2014. — С. 351. — 400 с. — ISBN 9785445838760.