Колебание функции

Величина ${\displaystyle \omega (f,E)=\sup _{x_{1},x_{2}\in E}|f(x_{1})-f(x_{2})|}$ называется колебанием функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle E}$.

Если теперь фиксировать ${\displaystyle \delta >0}$, то можно определить колебание функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle U_{E}^{\delta }(a)}$; функция ${\displaystyle \omega (f,a,\delta )=\omega \left(f,U_{E}^{\delta }(a)\right)}$ является невозрастающей функцией при ${\displaystyle \delta \to +0}$ и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при ${\displaystyle \delta \to +0}$,
• либо для любого ${\displaystyle \delta >0}$ будет ${\displaystyle \omega (f,a)=+\infty }$.

Величина ${\displaystyle \omega (f,a)\colon =\lim _{\delta \to 0+}\omega (f,U_{E}^{\delta }(a))}$ называется колебанием функции ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle a}$.

• Функция ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$ непрерывна в точке ${\displaystyle a\in E}$, предельной для множества ${\displaystyle E}$ тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

${\displaystyle f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \omega (f,a)=0}$.

• Функция ${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} }$ непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$ тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует элемент базы ${\displaystyle \mathbb {B} }$, колебание на котором будет меньше чем заданное ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle f\in C(E)\Leftrightarrow \exists B\in \mathbb {B} \colon \omega (f,B)<\varepsilon }$.

• Модуль непрерывности