Точная верхняя и нижняя границы

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли ${\displaystyle \sup X}$ и ${\displaystyle \inf X}$ множеству ${\displaystyle X}$ или нет:

в случае ${\displaystyle s=\sup X\in X}$ говорят, что ${\displaystyle s}$ является максимумом ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle s=\max X}$;

в случае ${\displaystyle i=\inf X\in X}$ говорят, что ${\displaystyle i}$ является минимумом ${\displaystyle X}$, то есть ${\displaystyle i=\min X}$.

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин "upper bound" может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением "low bound".

Непустое подмножество действительных чисел ${\displaystyle A}$, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное ${\displaystyle B}$, ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют ${\displaystyle {\bar {a}}}$ и ${\displaystyle {\underline {b}}}$ такие, что:

${\displaystyle {\bar {a}}=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}},\\\forall {\bar {a}}'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)}$

${\displaystyle {\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b}},\\\forall {\underline {b}}'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)}$

Для непустого множества ${\displaystyle X}$, ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа ${\displaystyle x\in X}$ в виде бесконечных десятичных дробей: ${\displaystyle x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots }}}$, где ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i}}$ — цифра.

Множество ${\displaystyle X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и ограниченно сверху по определению ${\displaystyle X}$. Так как ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}}$ и ограничено сверху, существует конечное число элементов ${\displaystyle X_{0}}$, больших некоторого ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in X_{0}}$ (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность ${\displaystyle X_{0}}$ сверху). Среди таких выберем ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0}}$.

Множество ${\displaystyle X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ${\displaystyle a_{1}=\max X_{1}}$.

Допустим, что для некоторого номера ${\displaystyle m}$ построено десятичное число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$ такое, что ${\displaystyle \exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots }}}$, причём ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$ (десятичная запись всякого элемента исходного множества до ${\displaystyle m}$-го знака после запятой не превосходит ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$, причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}}$).

Обозначим ${\displaystyle X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}\ldots }}\in X\}}$ (множество из элементов ${\displaystyle X}$, начинающихся в десятичной записи с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}$). По определению числа ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$, множество ${\displaystyle X_{m+1}}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}}$, обладающее теми же свойствами, что и ${\displaystyle a_{m}}$.

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого ${\displaystyle n}$ оказывается определенной цифра ${\displaystyle a_{n}}$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

${\displaystyle a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R} }$.

Возьмем произвольное число ${\displaystyle x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}}$. По построению числа ${\displaystyle a}$, для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n}}}}$ и поэтому ${\displaystyle x\leqslant a}$. Поскольку рассуждение выполнено ${\displaystyle \forall x\in X}$, то ${\displaystyle a=\sup X}$, причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения ${\displaystyle a}$.

Выберем ${\displaystyle a'<a}$. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи ${\displaystyle a'}$ меньше соответствующей в записи ${\displaystyle a}$. Рассмотрим полученое ${\displaystyle X_{i}}$ по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, ${\displaystyle \exists x\in X_{i}\subset X:x>a'}$.

Для непустого множества ${\displaystyle X}$, ограниченного сверху, рассмотрим ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — непустое множество верхних граней ${\displaystyle X}$. По определению, ${\displaystyle {\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}}$ (множество ${\displaystyle X}$ лежит левее ${\displaystyle {\overline {X}}}$). Согласно непрерывности, ${\displaystyle \exists c\in \mathbb {R}$ :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}} . По определению ${\displaystyle {\overline {X}}}$, в любом случае ${\displaystyle c\in {\overline {X}}}$ (иначе ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как ${\displaystyle c}$ является наименьшим элементом ${\displaystyle {\overline {X}}}$, то ${\displaystyle c=\sup X}$.

Проверим вторую строку определения. Выберем ${\displaystyle c'<c}$. Пусть ${\displaystyle \not \exists x\in X:x>c'}$, тогда ${\displaystyle \forall x\in X:x\leqslant c'}$, а это значит, что ${\displaystyle c'\in {\overline {X}}}$, но ${\displaystyle c'<c}$, а ${\displaystyle c}$ — наименьший элемент ${\displaystyle {\overline {X}}}$. Противоречие, значит ${\displaystyle \exists x\in X:x>c'}$. Вообще говоря, рассуждение верно ${\displaystyle \forall c'}$.

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.