Сумма Римана

Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида . Используется в определении интеграла Римана. Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана.

Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Определение

Пусть является функцией определённой на подмножестве на вещественной прямой .  — замкнутый интервал содержащийся в . является разбиением , в котором .

Сумма Римана функции с разбиением определяется следующим образом:

где . Выбор в данном интервале является произвольным. Если для всех , тогда называется левой суммой Римана. Если , тогда называется правой суммой Римана. Если , тогда называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

,

где является точной верхней границей множества на интервале , то называется верхней суммой Римана. Аналогично, если является точной нижней границей множества интервале , то называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения из интервала ) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции и отрезка существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора ), то этот предел называют интегралом Римана функции на отрезке и обозначается .

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.