Производная обратной функции

Пусть $y=f(x)$ — функция от аргумента $x$ в некотором интервале $(a,b)$ . Если в уравнении $y=f(x)$ $y$ считать аргументом, а $x$ — функцией, то возникает новая функция $x=\phi (y),$ где $f[\phi (y)]\equiv y,$ — функция, обратная данной.

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть

y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}

[1]

Доказательство

Пусть $y=f(x)$ — дифференцируемая функция, $y'_{x}=f'(x)\neq 0$ .
Пусть $\Delta y\neq 0$ — приращение независимой переменной $y$ и $\Delta x$ — соответствующее приращение обратной функции $x=\phi (y)$ .

Напишем тождество

{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

Переходя в этом равенстве к пределу при $\Delta y\to 0$ , которое влечет за собой стремление $\Delta x$ к нулю ( $\Delta x\to 0$ ), получим:

\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta y}}=1:\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow x'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}

, где

x'_{y}

— производная обратной функции.

Замечание

Если пользоваться обозначениями Лейбница, то выше доказанная формула примет вид

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}

Примеры

$y=\arcsin {x}\Rightarrow x=\sin {y},$

y'_{x}=(\arcsin {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(\sin {y})'}}={\frac {1}{\cos {y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{y}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}{(\arcsin {x})}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

$y=\ln {x}\Rightarrow x=e^{y},$

y'_{x}=(\ln {x})'={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}.

См. также

Примечания

Здесь и далее нижний индекс обозначает аргумент, по которому производится дифференцирование.

Литература

В. А. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Здесь и далее нижний индекс обозначает аргумент, по которому производится дифференцирование.