Дробная производная

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ есть моном вида

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

Первая производная, как и обычно

${\displaystyle f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Повторение данной процедуры даёт более общий результат

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={k! \over (k-n)!}x^{k-n}\,,}$

который после замены факториалов гамма-функциями приводит к

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-n+1)}x^{k-n}\,.}$

Поэтому, например, половинная производная функции x есть

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)}x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}\,.}$

Повторяя процедуру, будем иметь

${\displaystyle {d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{{1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\,,}$

что представляет собой ожидаемый результат

${\displaystyle \left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1\,.}$

Таким образом можно ввести дробные производные произвольного положительного порядка от многочлена. Определение также естественно обобщается на аналитические функции. Рассматривая ${\displaystyle \Gamma }$ как мероморфную функцию комплексного переменного, можно обобщить определение на случай произвольного порядка дифференцирования. При этом

${\displaystyle {\left({d \over dx}\right)}^{a}{\left({d \over dx}\right)}^{b}={\left({d \over dx}\right)}^{a+b}}$

на всех ${\displaystyle x^{k}}$, таких что ${\displaystyle k-a}$, ${\displaystyle k-b}$ и ${\displaystyle k-a-b}$ не являются целыми отрицательными числами.

Следует заметить, что производная в рассмотренном смысле имеет место при целых отрицательных n, однако такая производная отличается от понятия первообразной n-го порядка, поскольку первообразная определена неоднозначно, в то время как производная совпадает лишь с одной из первообразных. В этом случае можно говорить о главном значении первообразной.

Пусть

${\displaystyle f(x)=\sin(ax+b)\,.}$

Поскольку для любых a и b

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}\sin(ax+b)=a^{n}\sin \left(ax+b+{\pi n \over 2}\right)\,,}$

то, полагая ${\displaystyle n=1/2}$,

${\displaystyle {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)={\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}\right)\,.}$

Действительно,

${\displaystyle {{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\left({{d^{1/2}} \over {dx^{1/2}}}\sin(ax+b)\right)={\sqrt {a}}\;{\sqrt {a}}\,\sin \left(ax+b+{\pi \over 4}+{\pi \over 4}\right)=a\,\cos(ax+b)=f'(x)\,.}$

В рассмотренном примере понятие производной обобщается на случай любого действительного и даже комплексного порядка. Так, при ${\displaystyle n=-1}$ формула n-й производной даёт одну из первообразных функции ${\displaystyle f(x)}$.