Эпсилон-окрестность

• Пусть ${\displaystyle (X,\varrho )}$ есть метрическое пространство, ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle x_{0}}$ называется множество

${\displaystyle U_{\varepsilon }(x_{0})=\{x\in X\mid \varrho (x,x_{0})<\varepsilon \}.}$

• Проколотой ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ называется её ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность без неё самой:

${\displaystyle {\dot {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\backslash x_{0}}$

• Пусть дано подмножество ${\displaystyle A\subset X.}$ Тогда ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью этого множества называется множество

${\displaystyle U_{\varepsilon }(A)=\bigcup \limits _{x\in A}U_{\varepsilon }(x).}$

• ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ таким образом называется открытый шар с центром в ${\displaystyle x_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle \varepsilon .}$
• Прямо из определения следует, что

${\displaystyle U_{\varepsilon }(A)=\{x\in X\mid \exists y\in A\;\varrho (x,y)<\varepsilon \}.}$

• ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность является окрестностью и, в частности, открытым множеством.

Пусть есть вещественная прямая ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной метрикой ${\displaystyle \varrho (x,y)=|x-y|,\;x,y\in \mathbb {R} .}$ Тогда

• ${\displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}$
• ${\displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}$