Конечная p-группа

Конечная ${\displaystyle p}$-группа порядка ${\displaystyle p^{n}}$ называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна ${\displaystyle n-1}$.

Если ${\displaystyle P}$ — конечная ${\displaystyle p}$-группа максимального класса, то ${\displaystyle P'=\Phi (P)}$ и ${\displaystyle |Z(P)|=p}$.

Единственными 2-группами порядка ${\displaystyle 2^{n}}$ максимального класса являются: диэдральная группа ${\displaystyle D_{2^{n}}}$, обобщённая группа кватернионов ${\displaystyle Q_{2^{n}}}$ и полудиэдральная группа ${\displaystyle SD_{2^{n}}}$.

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

Конечная ${\displaystyle p}$-группа называется ${\displaystyle p}$-центральной, если ${\displaystyle \Omega _{1}(P)\leq Z(P)}$. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной ${\displaystyle p}$-группы.

Конечная ${\displaystyle p}$-группа называется мощной, если ${\displaystyle [P,P]\leq P^{p}}$ при ${\displaystyle p\neq 2}$ и ${\displaystyle [P,P]\leq P^{4}}$ при ${\displaystyle p=2}$. Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию ${\displaystyle p}$-центральной ${\displaystyle p}$-группы.

Конечная ${\displaystyle p}$-группа ${\displaystyle P}$ называется регулярной, если для любых ${\displaystyle x,y\in P}$ выполнено ${\displaystyle (xy)^{p}=x^{p}y^{p}c^{p}}$, где ${\displaystyle c\in P'}$. Регулярными будут, например, все абелевы ${\displaystyle p}$-группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

• Любая подгруппа и факторгруппа регулярной ${\displaystyle p}$-группы регулярна.
• Конечная ${\displaystyle p}$-группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
• Конечная ${\displaystyle p}$-группа порядка не большего ${\displaystyle p^{p}}$ является регулярной.
• Конечная ${\displaystyle p}$-группа класс нильпотентности которой меньше ${\displaystyle p}$ является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при ${\displaystyle p>2}$.
• Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p}$ равно 1: группа ${\displaystyle C_{p}}$.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{2}}$ равно 2: группы ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ и ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}}$.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{3}}$ равно 5, из них три абелевы группы: ${\displaystyle C_{p^{3}}}$, ${\displaystyle C_{p^{2}}\times C_{p}}$, ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ и две неабелевы: при ${\displaystyle p>2}$ — ${\displaystyle E_{p^{3}}^{+}}$ и ${\displaystyle E_{p^{3}}^{-}}$; при p = 2 — ${\displaystyle D_{4}}$, ${\displaystyle Q_{8}}$.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{4}}$ равно 15 при ${\displaystyle p>2}$, число групп порядка ${\displaystyle 2^{4}}$ равно 14.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{5}}$ равно ${\displaystyle 2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число групп порядка ${\displaystyle 2^{5}}$ равно 51, число групп порядка ${\displaystyle 3^{5}}$ равно 67.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{6}}$ равно ${\displaystyle 3p^{2}+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)}$ при ${\displaystyle p\geq 5}$. Число групп порядка ${\displaystyle 2^{6}}$ равно 267, число групп порядка ${\displaystyle 3^{6}}$ равно 504.
• Число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{7}}$ равно ${\displaystyle 3p^{5}+12p^{4}+44p^{3}+170p^{2}+707p+2455+(4p^{2}+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^{2}+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)}$ при ${\displaystyle p>5}$. Число групп порядка ${\displaystyle 2^{7}}$ равно 2328, число групп порядка ${\displaystyle 3^{7}}$ равно 9310, число групп порядка ${\displaystyle 5^{7}}$ равно 34297.

При ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ число неизоморфных групп порядка ${\displaystyle p^{n}}$ асимптотически равно ${\displaystyle p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^{3}}}$.

Для групп ${\displaystyle p}$-автоморфизмов конечной ${\displaystyle p}$-группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

• Пусть ${\displaystyle P}$ является нециклической ${\displaystyle p}$-группой порядка ${\displaystyle |P|\geq p^{3}}$, тогда ${\displaystyle |P|\leq |Syl_{p}(Aut(P))|}$.

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса ${\displaystyle p}$-групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более ${\displaystyle p^{7}}$, групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка ${\displaystyle q}$ нильпотентна.

• Пусть группа ${\displaystyle P}$ обладает регулярным автоморфизмом простого порядка ${\displaystyle q}$. Тогда её класс нильпотентности равен ${\displaystyle cl(P)={\frac {q^{2}-1}{4}}}$.

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: ${\displaystyle cl(P)<q^{q}}$ (Кострикин, Крекнин).

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с ${\displaystyle m}$ образующими и периодом ${\displaystyle n}$ (то есть все её элементы ${\displaystyle x}$ удовлетворяют соотношению ${\displaystyle x^{n}=1}$), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через ${\displaystyle B(m,n)}$. Тогда все другие группы с таким же свойством будут её факторгруппами. Действительно, как легко показать группа ${\displaystyle B(m,2)}$ является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы ${\displaystyle B(m,3)}$ равен ${\displaystyle 3^{\frac {m(m^{2}+5)}{6}}}$. Однако, как показали Новиков и Адян, при ${\displaystyle m\geq 2}$ и при любом нечётном ${\displaystyle n\geq 4381}$ группа ${\displaystyle B(m,n)}$ бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных ${\displaystyle m}$-порождённых групп периода ${\displaystyle n}$ ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных ${\displaystyle p}$ групп она означает, что существует лишь конечное число ${\displaystyle p}$ групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Классификация нерегулярных p-групп порядка ${\displaystyle p^{p+1}}$.