Нерв покрытия

Пусть ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — конечное покрытие топологического пространства ${\displaystyle X}$. Нерв покрытия ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — это абстрактный симплициальный комплекс ${\displaystyle N}$, множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом ${\displaystyle N}$ содержит симплекс с вершинами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}W_{\alpha _{i}}\not =\varnothing }$.

• Граф пересечений — 1-мерный остов нерва.

• (теорема о нерве) Если ${\displaystyle X}$ триангулируемо и ${\displaystyle \{W_{\alpha }\}}$ — конечное покрытие замкнутыми множествами, причём все непустые пересечения стягиваемы, то нерв покрытия гомотопически эквивалентен ${\displaystyle X}$.
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

• Когомологии Александрова — Чеха