Предпучок (теория категорий)

Предпучок в теории категорий — конструкция, обобщающая топологическое понятие предпучка.

Формально, предпучок ${\displaystyle F}$ на категории ${\displaystyle C}$ со значениями в категории ${\displaystyle V}$ — это функтор ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$, то есть контравариантный функтор из ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle V}$. Чаще всего рассматривают предпучки со значениями в категории множеств. Если ${\displaystyle C}$ — частично упорядоченное множество открытых множеств топологического пространства по включению, то категорный предпучок задаёт предпучок на топологическом пространстве в смысле, используемом в теории пучков.

Морфизмы между предпучками можно определить как естественные преобразования функторов. Это позволяет рассмотреть категорию функторов ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$. Функтор в ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ называют профунктором.

Предпучок, естественно изоморфный функтору Hom ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,A)}$ для некоторого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle C}$ называется представимым предпучком.

Широко используемый пример предпучка в теоретико-категорном смысле — симплициальное множество, являющееся предпучком на симплициальной категории ${\displaystyle \Delta }$ со значениями в категории множеств.