Элементарный топос

Элементарный топос — это декартово замкнутая конечно полная категория, в которой существует выделенный объект ${\displaystyle \Omega }$, называемый классификатором подобъектов, и мономорфизм в него из терминального объекта ${\displaystyle T\colon 1\to \Omega }$, называемый истиной (также обозначается ${\displaystyle true}$), такой что для любого мономорфизма ${\displaystyle m\colon A\to B}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle \chi _{m}\colon B\to \Omega }$, для которого диаграмма

является декартовым квадратом.

Иначе говоря, элементарный топос — это категория, имеющая терминальный объект и расслоённые произведения, а также экспоненциал ${\displaystyle a^{b}}$ любых двух объектов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и классификатор подобъектов ${\displaystyle \Omega }$.

• Любой элементарный топос является конечно полным (по определению) и конечно кополным.

• Основным примером топоса, свойства которого послужили основой для общего определения, является топос множеств. В нём экспоненциал множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — это множество ${\displaystyle A^{B}}$ отображений из ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$. Классификатор подобъектов — это множество ${\displaystyle \Omega =\{0;1\}}$, при этом ${\displaystyle m}$ — естественное вложение ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, а ${\displaystyle \chi _{m}}$ — характеристическая функция подмножества ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle B}$, равная 1 на элементах ${\displaystyle A}$ и 0 на элементах ${\displaystyle A\backslash B}$. Подобъекты ${\displaystyle A}$ — это его подмножества.
• Категория конечных множеств также является топосом. Это типичный пример элементарного топоса, не являющегося топосом Гротендика.
• Для любой категории ${\displaystyle C}$ категория функторов ${\displaystyle \left[C,\mathbf {Set} \right]}$ является топосом Гротендика. Пределы и копределы функторов вычисляются поточечно. Для функторов ${\displaystyle F,G}$ функтор морфизмов ${\displaystyle [F,G]}$ даётся формулой

${\displaystyle [F,G](c)=\mathrm {Hom} (F(c),G(c))}$

Из леммы Йонеды следует, что классификатор подобъектов ${\displaystyle \Omega }$ на объекте ${\displaystyle c\in C}$ равен множеству подфункторов представимого функтора ${\displaystyle \mathrm {Hom} (c,\cdot )}$.

• Категория пучков множеств на любом топологическом пространстве является топосом Гротендика. Если сопоставить пространству ${\displaystyle X}$ его категорию открытых подмножеств, упорядоченных по вложению, ${\displaystyle Ouv(X)}$, то структура топоса на категории пучков описывается в точности так же, как в топосе ${\displaystyle [Ouv(X),\mathbf {Set} ]}$. Единственное отличие: ${\displaystyle \Omega (c)}$ есть множество всех подпучков представимого пучка ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Ouv(X)}(c,\cdot )}$.
• Более общо, для любой категории ${\displaystyle C}$ с заданной топологией Гротендика ${\displaystyle \tau }$ категория ${\displaystyle \tau }$-пучков множеств является топосом Гротендика. Более того, любой топос Гротендика имеет такой вид.
• Вообще говоря, не любой топос Гротендика является категорией пучков на некотором топологическом пространстве. Например, топос пучков на топологическом пространстве всегда имеет точки, соответствующие точкам этого пространства, в то время как общий топос может не иметь ни одной точки. Аналогию между топосами и пространствами можно сделать точной, если в качестве пространств рассматривать локали, при этом категория топосов оказывается эквивалентна категории локалей. Неформально, локаль — это то, что остаётся от понятия топологического пространства, если забыть про точки и рассматривать лишь решётку его открытых подмножеств. Для топологических пространств нет разницы между взглядом на них как на пространства и как на локали. Однако, локаль не обязана соответствовать некоторому топологическому пространству. В частности, она не обязана иметь точки.

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
• P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.