Топология Гротендика

Классическое определение пучка начинается с некоторого топологического пространства ${\displaystyle X}$. Ему сопоставляется категория ${\displaystyle O(X)}$, объекты которой — открытые множества топологии, а множество морфизмов между двумя объектами состоит из одного элемента, если первое множество вложено во второе (эти отображения называют открытыми вложениями), и пусто иначе. После этого предпучок определяется как контравариантный функтор в категорию множеств, а пучок — как предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки. Аксиома склейки формулируется в терминах поточечного покрытия, то есть ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \bigcup {_{i}}U_{i}=U}$. Топологии Гротендика заменяют каждое ${\displaystyle U_{i}}$ целым семейством открытых множеств; более точно, ${\displaystyle U_{i}}$ заменяется семейством открытых вложений ${\displaystyle V_{ij}\to U_{i}}$. Такое семейство называется решетом.

Если ${\displaystyle c}$ — произвольный объект категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, то решето на ${\displaystyle c}$ — это подфунктор функтора ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,c)}$. В случае категории ${\displaystyle O(X)}$, решето ${\displaystyle S}$ на открытом множестве ${\displaystyle U}$ — это некоторое семейство открытых подмножеств ${\displaystyle U}$, замкнутое относительно операции взятия открытого подмножества. Произвольное открытое множество ${\displaystyle V}$, тогда ${\displaystyle S(V)}$ — это подмножество ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,U)}$, соответственно, оно пусто, если ${\displaystyle V}$ — не подмножество ${\displaystyle U}$, и может состоять из одного элемента иначе; если оно непусто, можно считать, что ${\displaystyle V}$ выбрано решетом. Если ${\displaystyle W}$ — подмножество ${\displaystyle V}$, существует морфизм ${\displaystyle S(V)\to S(W)}$, поэтому если ${\displaystyle S(V)}$ не пусто, то и ${\displaystyle S(W)}$ не пусто.

Топология Гротендика ${\displaystyle J}$ на категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это выбор для каждого объекта ${\displaystyle c}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ набора решёт на ${\displaystyle c}$, обозначаемого ${\displaystyle J(c)}$. Элементы ${\displaystyle J(c)}$ называются покрывающими решётами на ${\displaystyle c}$. В частности, решето ${\displaystyle S}$ на открытом множестве ${\displaystyle U}$ является покрывающим тогда и только тогда, когда объединение всех ${\displaystyle V}$, таких что ${\displaystyle S(V)}$ непусто, есть всё ${\displaystyle U}$. Этот выбор должен удовлетворять следующим аксиомам:

• замена базы: если ${\displaystyle S}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f:Y\to X}$ — морфизм, то прообраз решета под действием ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle f\ast S}$) является покрывающим решетом на ${\displaystyle Y}$.
• локальный характер: если ${\displaystyle S}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle T}$ — произвольное решето на ${\displaystyle X}$, и для каждого объекта ${\displaystyle Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C}}}$ и каждого морфизма ${\displaystyle f:Y\to X}$, принадлежащего ${\displaystyle S(Y)}$, прообраз решета ${\displaystyle f\ast T}$ является покрывающим решетом на ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle T}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$.
• единица: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ для любого объекта ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Замена базы соответствует идее о том, что если ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$, то ${\displaystyle \{U_{i}\cap V\}}$ покрывает ${\displaystyle U\cap V}$. Локальный характер соответствует тому, что если ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle \{V_{ij}\}}$ покрывает ${\displaystyle U_{i}}$ для каждого ${\displaystyle i}$, то все ${\displaystyle \{V_{ij}\}}$ покрывают ${\displaystyle U}$. Наконец, единица соответствует тому, что каждое множество можно покрыть объединением всех его подмножеств.

Дискретная топология на произвольной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ задаётся объявлением всех решет открытыми. Чтобы задать антидискретную топологию, нужно считать открытыми только решёта вида ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$. В антидискретной топологии любой предпучок является пучком.

Каноническая топология на произвольной катеории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это наиболее тонкая топология, такая что все представимые предпучки (функторы вида ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X))}$ являются пучками. Топология, являющаяся менее тонкой (то есть топология, такая что любой представимый предпучок является пучком) называется подканоничной, большинство встречающихся на практике топологий подканоничные.

Для сопоставления топологическому пространству малого ситуса, в категории ${\displaystyle O(X)}$ покрывающими объявляются такие решёта ${\displaystyle S}$, что объединение всех ${\displaystyle V}$, таких что ${\displaystyle S(V)}$ непусто, совпадает со всем ${\displaystyle U}$.

Решето ${\displaystyle S}$ на категории топологических пространств ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ называется покрывающим решетом, если выполняются следующие условия:

• для всех ${\displaystyle Y}$и морфизмов ${\displaystyle f:Y\to X}$, принадлежащих ${\displaystyle S(Y)}$, существует объект ${\displaystyle V}$ и стрелка ${\displaystyle g:V\to X}$ такие, что ${\displaystyle g}$ — открытое вложение, ${\displaystyle g}$ принадлежит ${\displaystyle S(V)}$ и ${\displaystyle f}$ проносится через ${\displaystyle g}$;
• если ${\displaystyle W}$ — объединение ${\displaystyle f(Y)}$, где ${\displaystyle f:Y\to X}$ пробегает ${\displaystyle S(Y)}$, то ${\displaystyle W=X}$.

Для категории запятой топологических пространств над зафиксированным топологическим пространством ${\displaystyle X}$, топология индуцируется категорией ${\displaystyle \mathbf {Top} }$. Получившаяся категория называется большим ситусом, ассоциированным с топологическим пространством ${\displaystyle X}$.