Тривиальная топология

Тривиа́льная тополо́гия в общей топологии — это топология, состоящая лишь из всего пространства и пустого множества. Логичнее, однако, называть эту топологию антидискретной, поскольку и дискретная, и антидискретная топологии — обе довольно тривиальные в общеязыковом смысле этого слова.

Определение

Пусть  — произвольное множество. Семейство подмножеств где обозначает пустое множество, является топологией. Эта топология называется тривиальной, антидискретной или топологией сли́пшихся точек. Пара называется тривиа́льным (иначе: антидискретным) топологи́ческим простра́нством.

Замечание

Если множество содержит более одной точки, то все они топологически неразличимы, так как содержатся в одной единственной окрестности.

Свойства

  • Единственными замкнутыми множествами в антидискретном топологическом пространстве являются и
  • Антидискретная топология обладает единственной базой:
  • Антидискретное топологическое пространство не удовлетворяет большинству аксиом отделимости. В частности, оно не является хаусдорфовым, а следовательно и метризуемым. Однако антидискретное топологическое пространство удовлетворяет аксиомам Т3, T, Т4 ввиду отсутствия в нём тех объектов, для которых надо проверять условия аксиом. Именно поэтому в определения регулярного, вполне регулярного и нормального топологических пространств вводится требование удовлетворять ещё одной аксиоме отделимости: аксиоме Т1.
  • Антидискретное топологическое пространство компактно и паракомпактно.
  • Любая последовательность точек из сходится к любой точке из того же пространства. В частности антидискретное топологическое пространство секвенциально компактно.
  • Внутренность произвольного собственного подмножества пуста.
  • Замыкание произвольного непустого подмножества совпадает с . В частности, любое подмножество антидискретного топологического пространства всюду плотно в
  • Два антидискретных топологических пространства гомеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую мощность.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.