Расслоённое произведение

Пусть в категории ${\displaystyle C}$ дана пара морфизмов ${\displaystyle f:X\to Z}$ и ${\displaystyle g:Y\to Z.}$ Расслоённое произведение ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ над ${\displaystyle Z}$ — это объект ${\displaystyle P=X\times _{Z}Y}$ вместе с морфизмами ${\displaystyle p_{1},p_{2},}$ для которых следующая диаграмма коммутативна:

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта ${\displaystyle Q,}$ с парой морфизмов ${\displaystyle q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,}$ дополняющих пару ${\displaystyle (f,g)}$ до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм ${\displaystyle u\colon Q\to P,}$ такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2}}$ называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g.}$

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

В категории множеств расслоённое произведение множеств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ с отображениями ${\displaystyle f:X\to Z}$ и ${\displaystyle g:Y\to Z}$ — это множество

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}}$

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ можно описывать двумя асимметричными способами:

${\displaystyle X\times _{Z}Y}$

${\displaystyle \cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]}$

${\displaystyle \cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],}$

где ${\displaystyle \coprod }$ — дизъюнктное объединение множеств.

• Индуцированное расслоение

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Фейс К. Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats. — Willey & Sons, 1990. — P. 524. — ISBN 0-471-60922-6.