Проективный модуль

Модуль ${\displaystyle P}$ над кольцом ${\displaystyle A}$ (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма ${\displaystyle g\colon P\to M}$ и эпиморфизма ${\displaystyle f\colon N\to M}$ существует такой гомоморфизм ${\displaystyle h\colon P\to N}$, что ${\displaystyle g=fh}$, то есть данная диаграмма коммутативна:

Диаграмма для проективного модуля

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль ${\displaystyle F}$. В самом деле, пусть ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots }$ — элементы базиса модуля ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle g(x_{i})=y_{i}}$. Поскольку ${\displaystyle f}$ — эпиморфизм, можно найти такие ${\displaystyle z_{i}}$, что ${\displaystyle f(z_{i})=y_{i}}$. Тогда ${\displaystyle h}$ можно определить, задав его значения на векторах базиса как ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i}}$.

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль ${\displaystyle P}$ проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль ${\displaystyle K}$, что прямая сумма ${\displaystyle F=P\oplus K}$ свободна. В самом деле, если ${\displaystyle P}$ есть компонента прямой суммы ${\displaystyle F}$, которая является свободным модулем, и ${\displaystyle g\colon P\to M}$ — гомоморфизм, то ${\displaystyle gp_{1}\colon F\to M}$ тоже гомоморфизм (${\displaystyle p_{1}}$ — проекция прямой суммы ${\displaystyle F}$ на первое слагаемое ${\displaystyle P}$), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм ${\displaystyle h_{1}\colon F\to N}$, такой, что ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1}}$, отсюда ${\displaystyle gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}}$, где ${\displaystyle i_{1}}$ — гомоморфизм включения ${\displaystyle P\to F}$, отсюда

${\displaystyle g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M}$

Обратно, пусть ${\displaystyle P}$ — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть ${\displaystyle g\colon F\to P}$ — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм ${\displaystyle id\colon P\to P}$ будет равен ${\displaystyle id=gh}$ для некоторого ${\displaystyle h\colon P\to F}$, так как ${\displaystyle P}$ проективен. Любой элемент ${\displaystyle F}$ тогда представим в виде

${\displaystyle x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g}$,

где ${\displaystyle \mathrm {Im} \,h}$ изоморфно ${\displaystyle P}$.

• ${\displaystyle P}$ проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма ${\displaystyle f\colon N\to M}$ индуцированный гомоморфизм ${\displaystyle f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)}$ является эпиморфизмом.
• ${\displaystyle P}$ проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ в точную последовательность ${\displaystyle 0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0}$.
• Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

• Инъективный модуль
• Резольвента (гомологическая алгебра)

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..