Множество уровня

Пересечения уровней координатых функций с трилистником. Красные линии ближе к наблюдателю, а жёлтые кривые — от наблюдателя дальше.

Множества уровней появляются во многих приложениях, зачастую под разными названиями.

Например, неявная кривая — это множество уровня, которая рассматривается отдельно от соседних кривых, подчёркивая, что такая кривая определяется неявной функцией. Аналогично, поверхность уровня иногда называется неявной поверхностью или изоповерхностью.

Также иногда используется название изоконтур[1], которое обозначает контур равной высоты. В различных областях изоконтуры получают специфичные названия, часто отражающие природу значений рассматриваемой функции, такие как изобара, изотерма, изогона, изохрона, изокванта и кривая безразличия.

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние

${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Множество уровня ${\displaystyle L_{r}(d)}$ этой функции состоит из точек, расположенных на расстоянии ${\displaystyle r}$ от начала координат, множество, известное как окружность. Например, ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$, поскольку ${\displaystyle d(3,4)=5.}$ Геометрически это означает, что точка ${\displaystyle (3,4)}$ лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат. Более общий пример, сфера в метрическом пространстве ${\displaystyle (M,m)}$ с радиусом ${\displaystyle r}$ и центром в ${\displaystyle x\in M}$ может быть определена как множество уровня ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$.

Второй пример — график функции Химмельблау, показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая является кривой уровня функции и они отстоят друг от друга логарифмически — если кривая представляет уровень ${\displaystyle L_{x}}$, то ближайшая кривая «внутри» представляет уровень ${\displaystyle L_{x/10}}$, а ближайшая кривая «снаружи» представляет уровень ${\displaystyle L_{10x}}$.

Кривая уровней с логарифмическим отстоянием графика функции Химмельблау[2]

Рассмотри функцию f, график которой напоминает холм. Голубые кривые являются множествами уровней, а красные кривые следуют в направлении градиента. Осторожный пешеход придерживается голубого пути. Самоуверенный пешеход следует по красным путям. Заметьте, что синие и красные линии всегда пересекаются под прямыми углами.

Теорема: Если функция f дифференцируема, градиент функции f в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен множеству уровня функции f в точке.

Чтобы понять, что это означает, представим, что два пешехода находятся в том же самом месте на склоне горы. Один из них уверен в себе и решает идти в направлении наиболее крутого подъёма, другой более осторожен, он не собирается карабкаться вверх или спускаться вниз, а выбирает путь с одинаковой высотой над уровнем моря. В нашей аналогии теорема выше говорит, что оба пешехода отправятся в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и её доказательства) будет то, что если f дифференцируема, множество уровня является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек функции f. В критической точке множество уровня может свестись к точке (например, в локальном экстремуме функции f) или критическая точка может оказаться особенностью, такой как точка самопересечения или касп.

Множество вида

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})\leqslant c\right\}}$

называется множеством подуровня функции f. Множество строгого подуровня функции f определяется как

${\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})<c\right\}}$

Аналогично

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})\geqslant c\right\}}$

называется множеством надуровня функции f[3][4]. Аналогично определяется множество строгого надуровня функции

${\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})>c\right\}}$

Множества подуровня имеют важное значение в теории минимизации. Ограниченность некоторого непустого множества подуровня и полунепрерывность снизу влекут за собой, что функция достигает своего минимума по теореме Вейерштрасса. Выпуклость всех множеств подуровней характеризует квазивыпуклые функции[5].

• Надграфик
• Метод функции уровня
• Множество уровня (структуры данных)