Надграфик

Надгра́фик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Функция (её график выделен синим) и её надграфик (закрашено зелёным).

Формально, для функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ надграфиком называется множество:

${\displaystyle \operatorname {epi} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\geqslant f(x){\bigr \}}}$.

Надграфик включает в себя график функции ${\displaystyle f}$, то есть ${\displaystyle \operatorname {epi} f\supset \Gamma ,}$ где:

${\displaystyle \Gamma \equiv \left\{{\bigl (}x,f(x){\bigr )}\in M\times \mathbb {R} \mid x\in M\right\}}$

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

Двойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ определяется как множество точек, лежащих под графиком:

${\displaystyle \operatorname {hyp} f\equiv {\bigl \{}(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid y\leqslant f(x){\bigr \}}}$.