Вполне ограниченное множество

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

Замечания

Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств $\mathbb {R^{n}}$ . Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной $a$ . Затем — разбить его на $k^{n}$ кубиков со сторонами $a/k$ . Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением $k$ .
Если на конечномерном пространстве $\mathbb {R^{n}}$ вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика $d(x,y)=\min(1,\mid x-y\mid )$ или дискретная метрика.
В бесконечномерном пространстве $l^{2}$ ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида $e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)$ , $i\in \mathbb {N}$ .
В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
Иногда термин «вполне ограниченность» (англ. totally bounded) путают с термином «полная ограниченность» (англ. completely bounded). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.